第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E zyxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn a a x -==讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数x an a x n πψsin 2)(=. 2sin 20220a xdx a n x a dx x x a an分部⎰⎰==πψ （1）4)(222222a dx x x x x x na-=-=-⎰ψ4)2cos 1(212202a dx a x n x a a --⋅=⎰π)61(12222πn a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为adx ，故2aa dx x x a=⋅=⎰ ， （3） 32022a a dx x x a=⋅=⎰，43)(22222a a x x x x -=-=- （4）当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，⎩⎨⎧<∞<=2,2,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 axa πψcos 21=, （参P57，（12））2cos22cos 12cos 112121121)(211cos 221)(22223222222)()(2222pap a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e a dx e e ea dx ax a e p a p a i a p a i a p a i a p a i aap a i p a i a xi a x i aa ipxaa ipx-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⋅=⋅=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-------⎰⎰⎰ππππππππππππφππππππππ动量的几率分布()2cos 4)()(22222232pa p a a p p -==ππϕρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中⎪⎩⎪⎨⎧><<-<∞=ax a x V x V ,00,x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。

求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出eq s .:ax ,0)()(a x 0 ,0)()(22"212'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）其中 ()'2202222, k Ek V E μμ=+=（3）方程的解为kxkxx ik x ik DeCe x Be Ae x --+=+=)()(21''ψψ （4）根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则0=C当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是ax , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kxDe x a x k F x ψψ （5）在a x =处，波函数及其一级导数连续，得ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）上两方程相比，得 kk a k tg ''-= （7）即 ()E EV E V a tg +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0022 μ （7’） 若令 ηξ==a a k k ,'（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：22202( 9)(10)2 ctg V a ηξξμξη=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。

对于束缚态来说，00<<-E V ，结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。

（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚态能级。

当2π≥r ，即2220πμ≥a V，亦即 82220 πμ≥a V （11）时，至少存在一个束缚态能级。

这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，()ψψ E V m dx d -=∴222当±∞→x 时，0→ψ，故有()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=<<=<<+-=<=-E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A xk x k 2221112,,2,0,sin 2,0,21πδδψ 由dx d ψln 在0=x 、a x =处的连续条件，得()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）由（1a ）可得 12sin mV k =δ （2）由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。

因而 ()22sin mV k ka ±=+δ （3）又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，1112sin mV k n -+=πδ (4)由(3)，得 212sin mV k n ka --=+πδ (5)结合(4),(5)，得 1112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ或 21112sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）,3,2,1=n一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：mk E nn 222 = （7）当12V V ≠时，仅当1212sin 22V V mV a --≥π才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-1212sin 22V V mV a π（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。

相应的波函数为:()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=>-<<+-=<=---E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n nn n n n x k nn n n 222211112,, 21,0, sin 2, 0, 22δψ其中 ()n n n k k a A 21112++=3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为 ⎩⎨⎧><-=.0,0,0,)(0x x V x V在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。

故()mE k Ce E V m k Be Ae xik x ik x ik 2,2,22011211==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。

由)0()0('2'1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。

从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。

反射系数 ()()221221222k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得()⎩⎨⎧<<->>=++=00220420,41,16V E V E V E E V EE VV R3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。

式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系()()()()[])(21)(12)(121)()(21)(21)(222211x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ψψψαψψψαψ并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(222x H e A x n x n n αψα-= （1）其中，归一化常数 ωαπαm ,!2=⋅⋅=n A nn （2）)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅=⋅=∴+-+-+---+----+---)(21)(21)(21!121)(2!121)(!221)(!21)(2)(21)(221)()(1112112112121122222222222222222x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x nn x nn n x n n x n n x n n ψψααπαααπαααπαααπαααααααααψααααααα()()()()[])(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21)(21)(222222112x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∴ψψψαψψψψαψψαψ0)(21)(21)(11**=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅==+-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx x n x n x dx x x n n n n nψψαψψψ ()()22121122121)(122121)()(21)(2222*22*n n n n n E n n m dxx n m x dxx x m x V =⎪⎭⎫⎝⎛+=+⋅⋅=+⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰+∞∞-ωαωψαωψψωψ3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。