毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本议卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．请保持答题卡平整，不能折叠。

考试结束，监考员将答题卡收回。

第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，(){}lg 3B x R y x =∈=-，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}3,4,52．若复数z 满足()()2121z i i +=-+，则在复平面内z 对应的点的坐标为（ ） A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1--3．下面有四个命题：1:p x R ∃∈，sin cos x x +≥；2:p x R ∀∈，sin tan cos xx x=； 3:p x R ∃∈，210x x ++≤；4:0p x ∀>，12x x+≥。

其中假命题．．．的是（ ） A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p4．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（ ）A ．13B ．47C ．23D ．345．若函数()1f x +为偶函数，对任意1x ，[)21,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()21120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则有（ ） A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．函数()22cos 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知向量()1,0a =，b =a 与b 的夹角为45°，若c a b =-，则c 在a 方向上的投影为（ ） A ．1B ．15C ．15-D ．-18．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入3x =，2n =，依次输入的a 为2，3，5，则输出S =（ ）A ．9B ．12C ．26D ．329．如图，在三棱锥A PBC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，平面PAC PBC ⊥平面，三棱锥A PBC -P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =。

ABC △的周长为5，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则ABC △的面积为（ ）A ．54B C D 11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若以线段1F O （O 为坐标原点）为直径的圆过点M ，且12F N MN =u u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2CD．312．函数()()ln 1f x x x =-+，()1,021,02x a x g x a x x ⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若存在0x 使得()()00f x g x <成立，则整数a的最小值为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：13．已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________。

14．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2AC =，BC =D ，E 分别是1AC 和1BB 的中点，则异面直线11B C 与DE 所成的角为________。

15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 分别为椭圆的上、下顶点直线1AF 与椭圆C 的另一个交点为E ，若1260F AF ∠=︒，则直线BE 的斜率为________。

16．已知函数()212cos 22f x x x =--，下列四个结论： ①()f x 在5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；②()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值、最小值分别是-2，12-；③()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭； ④()f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等实根的充要条件为102m -≤<。

其中所有正确结论的编号是________。

三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 满足11a =，()*112,n n a n n N -=+≥∈，1n n b a =+。

（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）已知()()12212121nn n a c n n -=⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

18．2020年新型冠状病毒疫情爆发，贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”。

自2月3日起，高三年级学生通过收看“阳光校园·空中黔课”进行线上网络学习。

为了检测线上网络学习效果，某中学随机抽取140名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查，并组织了一场线上测试，调查发现有100名学生每天准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得频率分布直方图（如图1所示）；另外40名学生偶尔没有准时提交作业，根据他们的线上测试成绩得茎叶图（如图2所示，单位：分）（Ⅰ）成绩不低于90分为A 等，低于90分为非A 等。

完成以下列联表，并判断是否有95%以上的把握认为成绩取得A 等与每天准时提交作业有关？准时提交作业与成绩等次列联表单位：人（Ⅱ）成绩低于60分为不合格，从这140名学生里成绩不合格的学生中再抽取4人，其中每天准时提交作业的学生人数为X ，求X 的分布列与数学期望。

附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．如图，在四棱锥C ABNM -中，四边形ABNM 的边长均为2，ABC △为正三角形，MB =，MB NC ⊥，E ，F 分别是MN ，AC 的中点。

（Ⅰ）证明：MB AC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值。

20．抛物线()2:20C x py p =>，Q 为直线2py =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N 。

（1）证明：直线MN 过定点； （Ⅱ）若以50,2P G ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积。

21．已知函数()()ln xf x mx m=-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的正整数n ，都有2111111333n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑。

22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0p θ-=，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，已知点(),0P 1，且PM PN >，求11PN PM-的值。

23．选修4-5：不等式选讲已知函数()f x mx n =-，其中0m >。

（Ⅰ）若不等式()6f x ≤的解集为{}31x x -≤≤，求实数m ，n 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若1a >-，2b >-，且a b m +=，求证：112123a b +≥++。

毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学参考答案及评分建议一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题 13．-314．6π15．4-16．④三、解答题17．解：（I ）当1n >时11111n n n n n b a b a ---+===+ 当1n =时，12b =∴数列{}n b 是首项为2的等比数列（Ⅱ）由（1）知112n n n b a -=+=⨯18．解：（1）每天准时提交作业的A 等学生人数为：0.031001030⨯⨯=根据题意得到列联表()22140303557014 4.667 3.84140100351053K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为成绩取得A 等与每天准时提交作业有关。

（2）成绩低于60分的学生共8人，其中每天准时提交作业的有5人，偶尔没有准时提交作业的有3人， 所以随机变量1,2,3,4X =。

()1353485117014C C P x C ⋅====； ()2253483032707C C P x C ⋅====；()3153483033707C C P x C ⋅====； ()4053485147014C C P x C ⋅====。

随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为：()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 19．（1）证明：连接AN ∵四边形ABNM 的边长均为2， ∴MB AN ⊥∵MB NC ⊥且AN NC N ⋂= ∴MB NAC ⊥面 ∵AC NAC ⊂面 ∴MB AC ⊥（2）连接BF ，MF∴ABC △为正三角形，F 为AC 中点 ∴AC BF ⊥由（1）得AC MB ⊥，且BF MB B ⋂= ∴AC MBF ⊥面 ∴AC MF ⊥ 在MAF △中 ∵2MA =，1AF =∴MF =又∵BF =MB =∴222MF BF MB += ∴MFBF ⊥以F 为原点，FB ，FC ，FM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示则)B ，()0,0,0F ，()0,1,0C，(0,0M，122E ⎛ ⎝∴122FE ⎛ ⎝u u u r，(BM u u u ur，(0,1CM -u u u u r设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =r∴0y ⎧⎪⎨-+==⎪⎩令1z =，解得()n =r设直线EF 与平面MBC 所成的角为θ则sin n FE n FEθ⋅==⋅u u u r u u u r 20．解：（1）设,2P Q t ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11,M x y ，则2112x py = 由2222x x py y p=⇒=所以xy p '=，所以切线MQ 的斜率为1MQ x k p=， 故1112py x x t p +=-，整理得211220tx py P -+=，设()22N x y ，， 同理可得222220tx py p -+=所以直线MN 的方程为2220tx py p -+=所以直线MN 恒过定点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）由（1）得直线MN 的方程为2tx p y p =+ 由222tx p y p xy p ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2220x tx p --=， 122x x t +=，()212122t t y y x x p p p p+=++=+ 设H 为线段M 的中点，则2,2t p H t p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于GH MN ⊥u u u r u u u u r ，而2,2t GH t p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，MN u u u u r 与向1,t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行，所以220t t t p p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得0t =或t p =±当0t =时，圆G 半径2R GH p ==u u u r ，所以圆G 的面积为24p π当t p =±时，圆G半径R GH ==u u u r ，所以圆G 的面积为22p π21．解（1）()11x m f x m x mx-'=-=， 令()0f x '=得x m =当0m >时，函数()f x 的定义域为()0,+∞令()0f x '>得x m >；()0f x '<得0x m <<所以()f x 的单调递减区间为()0,m ，单调递增区间为(),m +∞ 当0m <时，函数函数()f x 的定义域为(),0-∞令()0f x '>得0m x <<；()0f x '<得x m <所以()f x 单调递减区间为(),m -∞，单调递增区间为(),0m ，（2）要证：2111111333n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需证：21111ln 1113332n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证：21111ln 1ln 1ln 13332n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）知，取1m =时， ()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()11f x f ≥=（），即ln 1x x -≥∴ln 1x x ≤- ∴11ln 133nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ ∴22111111ln 1ln 1ln 1333333n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111*********n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭- 所以，原不等式成立22．解：（1）由11012x x y t ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=⎪⎩因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩且222x y ρ=+ 由24cos 04cos 0ρθρρθ-=⇒-=所以2240x y x +-=，即()2224x y -+= 所以直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为10x --=和()2224x y -+=（2）解把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩带入2240x y x +-=，整理得230t --= 设1PN t =，2PM t =所以12t t +=123t t =- 因为PM PN >所以1212121111t t PN PM t t t t +-=-== 23．解：（1）由6mx n -≤66m n -≤-≤∵0m > ∴66n n x m m-+≤≤ ∴6361n m n m-⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得：3m =，3n =- （2）由3a b +=得()()126a b +++=∵1a >-，2b >- ∴()()1211111121121263612a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 112333≥+=。