得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000
输入： n 5; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 输入： n 10; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
2.3 矩阵的条件数与病态方程组
一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态 三、病态线性方程组的求解
2.3 矩阵的条件数与病态方程组
例1 方程组
3.03001
11
•
x1 x2
4.04001
准确解： x1 , x2 T 1 , 1T
若A及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：
3 2.9999
11
•
x1 x2
4.04002
准确解：
x1 , x2 T 2
, 10T
方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的 交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相 差很远。
例2 方程组 10 7 8 7 x1 32
7
8 7
5 6 5
6 10 9
5 190
•
x2 x3 x4
23 3331
（准1确A）解对0为0.00右0.081：端00b0.0(0..004x作211 ,微x00200..小11,1x扰3,00x动00..2042)：T （2(）1,1对,1,系1)数T 矩阵A作微小扰动：
10 7 8 7 x1 32.1
10 7 8.1 7.2 x1 32
7
8 7
5 6 5
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别 2、病态线性方程组的求解
（1）采用高精度 （2）（预处理）平衡法 （3）残差校正法 （4）奇异值分解法
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别
例（P49）
三、病态线性方程组的求解 1、病态线性方程组的判别
0.1 0.1
A 0.1
在MATLAB中，函数hilb（）提供了Hilbert矩阵
H4 hilb(4)
希尔伯特（Hilbert）阵 -----最著名的病态矩阵
Hilbert矩阵的条件数：
cond (H4 ) 1.55104 , cond (H6 ) 1.49107 cond (H8 ) 1.531010 cond (H5 ) 4.761105, cond (H10 ) 1.60251013 cond (H15 ) 8.4881017 cond (H20 ) 1.9084 1018
6 10 9
5 9 10
•
x2 x3 x4
22.9 3303..91
7.08
8 6.99
5.04 5.98 4.99
6 9.89
9
5 9 9.98
•
x2 x3 x4
23 3331
(x1, x2 , x3, x4 )T (9.2,12.6,4.5,1.1)T
b 0.1 0.303%
例4（P49）
0.1 0.1
0.1 1010
•
x1 x2
0.2 1010
cond ( A) 1011 方程组病态
进行行平衡: s1 0.1, s2 1010 , D diag(10,1010 )
得同解方程组: DAx Db
1 1011
11
•
x1 x2
2 1
cond ( A) 4
(3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）
~x x
Ax b 近似解 ~xx1, x2 , x3, x4 )T (81,137,34,22)T
15111倍
A 0.3 0.9%
A
33
x x
13.6 1
1360%
x 136 13600%
x
1
2.3 矩阵的条件数与病态方程组
一、矩阵的条件数 ★矩阵条件数的定义 ★矩阵条件数的性质
一、矩阵的条件数
1010
例（P49）
cond ( A) 1011
1010 0.1
B
0.1
1010
cond (B) 1
2、病态线性方程组的求解
（2）预处理 设有预处理矩阵P，对方程组AX=b预处理 PAX=Pb
使 cond(PA) cond( A)
2、病态线性方程组的求解 （1）采用高精度
（2）预处理 cond (PA) cond ( A)
b
x
(3) 0.005%, 50%
b
x
希尔伯特（Hilbert）阵 -----最著名的病态矩阵
定义： H (hi, j )nn ,
hi, j
1 ,i, i j 1
j
1,2,, n
1
Hn
1
2
1
2 1
3
1 3 1
1
n 1
4
n
1
1 n
1 n 1
1 n2
1 2n 1
对称正定矩阵
Proof
x
A A1
A b
改写（2.22）式：
x
(
)
1 A A1 A
A
b
A
★矩阵条件数的定义： ★矩阵条件数的性质：
（6）Cond(AB) ≤ Cond(A) Cond(B)
二、线性方程组的性态
答案： (1)cond ( A) 4104 , x (2,0)T (2)x x (1,1)T
求解病态方程组出现的问题：
例：用MATLAB求解线性方程组
Hnx b
b Hne, e (1,1,,1)T
输入： n 5; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 输入： n 10; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000, 1,000, 1.000, 1.000, 0.999 1.000，0.999， 1.000， 0.999，1.000
输入： n 20; H hilb(n);b H *ones(n,1); x H \ b; x,
得：ans=1.000, 1,000, 1.001, 0.979 1.202 -0.141, 4.886, - 6.842, 9.446, -2.9071 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545, 65.566, -47.751, 27.814, -9.191, 2.883