江南大学现代远程教育2012年上半年第三阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本 第七章至第九章（总分100分） 时间：90分钟
一．选择题(每题4分)
1. 设22
(,)x
f y x y x y -=-, 则(,)f x y = ( d ). (a) 2(1)1y x x +- (b) 2(1)1y x x -+ (c) 2(1)1x x x +- (d) 2(1)1x y y
+- 2. 设函数 (,)z f x y = 在点 00(,)x y 的某邻域内有定义, 且存在一阶偏导数, 则0
0x x y y z
y ==∂=∂( b ) (a) 00000(,)(,)lim y f x x y y f x y y ∆→+∆+∆-∆ (b) 00000(,)(,)lim y f x y y f x y y
∆→+∆-∆ (c) 000
()()lim y f y y f y y ∆→+∆-∆ (d) 0000(,)(,)lim y f x x f x y y ∆→+∆-∆ 3. 若D 是平面区域22{19}x y ≤+≤, 则D
dxdy ⎰⎰=( b )
(a) 7π (b) 8π (c) 9π (d) 10π
4. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( b )
(a) 32xy y '+= (b) 2cos y xy x '+= (c) 2yy x '= (d) 21y xy '-=
5. 微分方程 ()0x y y x y '++-= 的通解是 (d ). (a) 221arctan
ln()2y x y C x ++= (b) 22arctan ln()y x y C x
-+= (c) 22arctan ln()y x y C x ++= (d) 221arctan ln()2y x y C x -+= 二.填空题(每题4分)
6. 设
z =, 则 1
3x y z
x ==∂=
∂2
7. 设 2cot()z y xy =-, 则
z y ∂=∂22(2)csc ()y x y xy -- 8. 设sin y
x z e x y =+, 则2z x y
∂∂∂=231cos y y x x y e e y x x --+ 9. 设 2ln(32)x y z y x e =-+, 则 dz =22223(
2)()3232x y x y xye dx x e dy y x y x -+++--
10. 交换二次积分次序 ln 10(,)e x I dx
f x y dy =⎰⎰=10(,)y
e
e dy
f x y dy ⎰⎰ 11. 微分方程 443d u u v dv
+= 的自变量为ν, 未知函数为u , 方程的阶数为4 12. 微分方程 10dy dx xy
-= 的通解是2ln 2y x C =+ 三. 解答题 (满分52分)
13. 设 (,)z z x y = 是由方程 2cos()0z e x y x z -+-= 所确定的隐函数, 求 dz 解：222
2cos()0(cos())0
(2)sin()sin()0(2sin()sin()
z z z z e x y x z d e x y x z e dz xydx x dy x z dx x z dz xy x z dx x dy dz e x z -+-=⇒-+-=⇒-+--+-=+-+⇒=+- 14. 求函数 (3),(0,0)z xy x y x y =-->>的极值。
解：驻点满足'2'232011
320x y z y xy y x y z x x xy ⎧=--==⎧⎪⇒⎨⎨==--=⎩⎪⎩ 而''''''2,322,2xx xy yy z y z x y z x =-=-+=- 230,0,(1,1)1
B A
C A f ⇒-=-<<⇒=有 为极大值 15. 计算 2D
xy dxdy ⎰⎰, 其中D 是由曲线 21,,3xy y x y === 围成的平面区域。
解：33
2231
111(1)92D y xy dxdy y xdx y dy ==-=⎰⎰⎰⎰ 16. 计算22x y D e
dxdy +⎰⎰, 其中D 是由 2225x y ≤+≤ 确定。
解：2222520()x y D e dxdy d e d e e π+ρ=
θρρ=-π⎰⎰⎰ 17. 求微分方程 2dy y dx y x
=- 的通解。
解：1122()3
dy dy y y dy y dx x C y y x C ye dy e dx y x dy y y -⎰⎰=⇒+=⇒=+=+-⎰ 18. 求微分方程 cos dy y x dx x
+=的通解。
解：111cos (cos )(sin cos )dx dx x x dy y x y C x e dx e C x x x dx x x
-⎰⎰+=⇒=+*=++⎰
19. 求微分方程 (sin )tan 0y x dx xdy -+= 满足初始条件 ()16
y π
= 的解。
解：'(sin )tan 0cos tan y y x dx xdy y x x
-+=⇒+= cos cos sin sin sin (cos )sin 2x x dx dx x x C x y C x e dx e x -⎰⎰⇒=+*=+⎰
13
()112,648
3sin 8sin 2y C C x y x π
+⇒=+⇒=⇒=+为所求特解
导数公式：'
2''
()(0)u u u -=≠υυυυυ
22221
(ln )'()'ln 1
(tan )'sec cos 1
(cot )'csc sin (sec )'sec tan (csc )'csc cot x x x x
a a a
x x
x x x x x x x
x x x
=====-=-==-
2
2
(arcsin )'11)
(arccos )'11)
1(arctan )'11
(arccot )'1x x x x x x x x =-=-=+=-+<<<<
一阶线性方程 '()()y p x y q x +=的通解：
()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰。