1 m2 2 ， 故 8
P D P 2F, PDE 的周长 = DE EP PD DE EP PF 2 .
如图 2，过 E 点作 EG BC 于点 G .当 E, P, F 三点共线， 即点 P 为 EG 与抛物线的交
点时， EP PF 的值最小，此时 xP xE 最小时点 P 的坐标为 (- 4,6).
3
12
24
10
10 .
10
5
过 B 点作 B F x 轴于点 F ，则 xB 3 BF 3 BB cos ABE 3 36 5
21
，
5
3
1
12
21 12
yB
BF
BB sin ABE BB sin ACO
10
10
10
10
，故 B ( , ) ,
5
55
易求直线 B D 的解析式为 y
4 48 x.
13 13
4, yP
1 ( 4)2 8 6 ，所以 PDE 周长 8
点评 本例三角形的三个顶点中， 点 P 为动点，点 D , E 均为定点 .由于 DE 的长为定值，
欲使 PDE 的周长最小，只需满足 PD PE 的值最小即可 .进而利用“点 P 运动的过程中， PD 与 PF 的差为定值” 这一有力武器， 将问题转化为 “求定直线 BC 上一动点 F 与直线外 一定点 E 的距离的最小值” ，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段最短”确定点 P 的位置 .
例 1 (2015 年河南省，有改动 )如图 1，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上， 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A ，点 P 是抛物线上点 A 、C 间的一个动点 (含端点 )，过点 P
作 PF BC 于点 F .点 D 、E 的坐标分别为 (0,6),( - 4,0)，连接 PD , PE, DE .是否存在点 P ，
OA2 OC 2 10 ，
直线 AC 的解析式为 y 3x 3 .
如图 4，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ，连接 B D ,交 AC 于点 M ，则 BDM 即为 符合题意的周长最小的三角形 .(证明如下 :不妨在直线 AC 上取异于点 M 的任一点 M ，连 接 B M , DM , BM . 由 对 称 性 可 知 : BM B M , BM B M ， 于 是 BDM 的 周 长
联立解方程组
9
y
4x 13
48
x
13 ，得
35 ，所以 M 点的坐标为 ( 9 ,132) .
132
35 35
y 3x 3
y
35
点评 本例三角形的三个顶点中， 点 M 为动点， 点 B 、 D 均为定点， 且均位于动点 M 所在直线 AC 的同一侧 .通过寻找定点 B 关于动点 M 所在直线 AC 的对称点 B ,将问题转 化为“求定直线 AC 上一动点 M 与直线异侧两定点 B , B 的距离和的最小值” ，从而可利用 “三角形任意两边之和大于第三边” 加似解决 (当 B 、M 、D 三点共线， 即点 M 为直线 B D 与直线 AC 的交点时， DM BM 的值最小，此时 BDM 的周长最小 ).
例 2 (2012 年山西省， 有改动 )如图 3，在平面直角坐标系中， 抛物线 y x2 2 x 3
与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点 .请在直线 AC 上找一点
第 1页共 5页
M ，使 BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标 . 分析 易知 A( 1, 0), B (3, 0),C (0,3),D (1,4，) 故 AB 4, AC
利“刃”在手亿“折”成“直”
—例析坐标系中三角形周长最小值问题
在近几年的各地中考中， 与线段相关的最值问题频频出现， 已然成为一道亮丽的风景线 .
而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，
更是中考命题所关注的热点
之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考
.
1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点
的动点，问 :在 P 点和 F 点移动过程中，
最小值 ;若不存在，请说明理由 .
PCF 的周长是否存在最小值 ?若存在，求出这个
分析 存在 .理由 :如图 6，分别作点 C 关于直线 QE , x 轴的对称点 C , C ，连接 C C ，
交 OD 于点 F ，交 QE 于点 P ，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形， 此时 PCF
的周长等于线段 C C 的长 .(证明如下 :不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F ，在线段
QE 上取异于点 P 的任一点 P ，连接 CF , CP , F P , F C , P C . 由轴对称的性质可知
P CF 的 周 长 = F C F P P C ， 而 F C F P P 的C值 为 折 线 段 C P F C 的长，由两点之间线段最短可知 F C F P P C C C ，即 PCF 的 周长大于 PCF 的周长 .)
如 图 6 ， 过 点 Q 作 QG y 轴 于 点 G ， 过 点 C 作 C H y 轴 于 点 H ， 则
使 PDE 的周长最小 ?若存在，求出点 P 的坐标 ;若不存在，请说明理由 .
分析
存在 .理由 :易求 抛物 线的解 析式 为 y
P( m, 1 m2 8) ( 8 m 0) ， 8
1 x2 8 . 设 8
则 PF 8 ( 1 m2 8) 1 m2, PD
8
8
( m)2
2
6 ( 1 m2 8) 8
= B M DM BD , BDM 的 周 长 = B M DM BD . 而 在 B D M 中 ，
BM
周长 .)
DM
B，即 BM DM
若 BB 交 AC 于点 E ，则
BM DM
，所以 BDM 的周长大于 BDM 的
ABE 90 CAO ACO , BB 2BE 2 AB cos ABE 2 AB cos ACO
第 2页共 5页
2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点
例 3 (2013 年湖南张家界， 有改动 )如图 5，抛物线 y ax 2 bx c(a 0) 过点 C(0,1) ，
顶点为 Q (2,3) ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD OC .将直线 CD 绕点 C 逆时一点 E ，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上