第一章 函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
7、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、求下列函数定义域 （1）211xy -= ； （2）x y sin = ；（3）xe y 1= ；2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2== ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ； （2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数 （1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +==；5、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321limn n n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）2232)2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→ ； （8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；6、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ； （4）xx xx )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 10)1(lim -→ ；7、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ；（2）)1(21112x x x --→与，时 ；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sin sin tan lim xx x x -→ ； （2）),()(sin )sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ；9、讨论函数的连续性。
在⎩⎨⎧=>-≤-=11,31,1)(x x x x x x f10、利用函数的连续性求极限（1）)2cos 2ln(lim 6x x π→； （2）)(lim 22x x x x x --++∞→ ；（3）x x x sin lnlim 0→ ； （4）xx x2)11(lim +∞→ ；（5）)11(lim ,)1(lim )(1--=+→∞→t f nx x f t nn 求设 ；（6）)11ln(lim +-∞→x x x x ；11、设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x应当怎样选择a ，使得)()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。
12、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。
（B ）1、设)(x f 的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）)(xe f y = （2）)(ln x f y =2、设⎩⎨⎧>-≤=⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(0,,0)(2x x x x g x x o x x f 求)]([,)]([,)]([,)]([x f g x g f x g g x f f3、利用极限准则证明： （1）111lim =+∞→n n （2）1]1[lim 0=+→xx x ；（3）数列 ,222,22,2+++的极限存在 ；4、试比较当0→x 时 ，无穷小232-+xx 与x 的阶。
5、求极限（1）)1(lim 2x x x x -++∞→ ； （2）1)1232(lim +∞→++x x x x ； （3）30sin tan lim x xx x -→ ；（4）)0,0,0()3(lim 10>>>++→c b a c b a xx x x x ；6、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin)(2x x a x xx x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？7、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01,)1ln(0,)(11x x x e x f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点类型。
（C ）1、已知x x f e x f x -==1)]([,)(2ϕ ，且0)(≥x ϕ ，求)(x ϕ并写出它的定义域。
2、求下列极限：（1）、]ln cos )1ln([cos lim x x x -++∞→ ；（2）、xxx x x cos sin 1lim-+→ ；（3）、求xx x x 2sin 3553lim 2⋅++∞→ ；（4）、已知9)(lim =-+∞→xx a x a x ，求常数a 。
（5）、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续 ，且b b f aa f <>)(,)( ，证明：在开区间),(b a 内至少存在一点ξ ，使ξξ=)(f 。
第一章 函数与极限 习 题 答 案（A ）一、填空题 （1）]2,1( （2）),1(∞+- （3）[2 ，4]（4）{}z k k x k x ∈+≤≤,)12(2ππ （5）]2,2[-（6）-3 （7）0;,=∈=x z k k x π （8）2 （9）1（10）充分 （11）21 （12）23- （13）x=1 , x=2 （14）高阶 （15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）]2,1(]1,2[ - （22）1 二、计算题1、（1） ),1()1,1()1,(∞+---∞（2） ),0[∞+ （3）),0()0,(∞+-∞2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数4、（1）[]22)(sin x y = （2）]1[2x y += （3）][sin 2xey = 5、（1）[ 2 ] （2）]21[ （3）-9 （4）0 （5）2 （6）∞ （7）0 （8）22- （9）21 6、（1）w （2）52 （3）1 （4）1-e （5）2e （6）1-e 7、（1）的低阶无穷小是3222x x x x -- （2）是同阶无穷小8、（1）21 （2）⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,09、不连续10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）2e （5）0 （6）-2 11、a=1（B ）1、（1）提示：由10≤≤xe 解得：]0,(∞-∈x （2）提示：由1ln 0≤≤x 解得：],1[e x ∈2、提示：分成o x ≤和0>x 两段求。
)()]([x f x f f = ，0)]([=x g g ，0)]([=x g f , )()]([x g x f g =4、（1）提示：n n 11111+<+< （2）提示：xx x x x x 1]1[)11(⋅<<- （3）提示：用数学归纳法证明：222=+<n a5、提示：xx x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x =-12（同阶）6、（1）提示：乘以x x ++12 ；21（2）提示：除以x 2 ；e （3）提示：用等阶无穷小代换 ；21（4）提示： xx x x c b a 1)3(++ xc b a c b a x x x x x x x x x c b a 3111111313111-+-+--+-+-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=（3abc ）7、提示：)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ （0=a ）8、1=x 是第二类间断点 ，0=x 是第一类间断点（C ）1、解：因为()[]x ex fx -==1)(2ϕϕ ，故)1ln()(x x -=ϕ ，再由0)1ln(≥-x ，得：11≥-x ，即0≤x 。
所以：)1ln()(x x -=ϕ，0≤x 。
2、解：原式=)cos sin 1(cos sin 1lim 20x x x x xx x x ++-+→=xx x x x 20sin sin 21lim +⋅→=)sin (sin lim210x x xxx +⋅→=03、解：因为当∞→x 时 ，xx 2~2sin ，则x x x x 2sin 3553lim 2⋅++∞→=x x x x 23553lim 2⋅++∞→=x x x x 35106lim 22++∞→=564、解：因为：9=x x ax a x )(lim -+∞→=xx x a x a ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim =a a e e -=a e 2 所以92=ae，3ln =a5、证明：令x x f x F -=)()( ，)(x F 在[]b a ,上连续 ，且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F 。