非线性系统的分类： 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的稳定性 （1）非线性系统的稳定性，则除了与系统的结构、参数 有关外，很重要的一点是与系统起始偏离的大小密切相连。
（2）不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须 明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。
平衡态为孤 立的平衡态。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
4) 对于线性定常系统 x f [x,t，] 当A为x 非奇异矩阵时，
的解Axe 是0 系统唯xe一存0在的平衡状态，当A为非奇异时，则
会有无穷多个。xe
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变
换到坐标原点 xe 处0。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的
第一讲 李雅普诺夫稳定性理论
目录
非线性系统相关基本概念 李雅普诺夫关于稳定性的定义
及李雅普诺夫第一，第二方法 拉塞尔不变集理论 Barbalat引理 类李雅普诺夫引理 稳定性分析方法概述 一致最终有界
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的定义： 含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。
与稳定性相关的几个定义 x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： 则 x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 当很小时，则称s()为xe的邻域。 如系统的解 x (t; x0 ,t0 ) 位于球域s()内，则：
(t; x0 , t0 ) xe , t t0 表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。
稳定性就可以了。 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线 性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。对有多个平衡点的系统来说，要讨论该 系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.1 非线性系统相关基本概念
回环（间隙）特性
x1表示输入 x2表示输出
b 表示间隙。
1.1 非线性系统相关基本概念 回环（间隙）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
1.1 非线性系统相关基本概念 继电器特性
(a)理想继电特性 (b)死区继电特性 (c)一般的继电特性
t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常
的非线性函数.。
设(1-1)在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
x (t, x0,t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0出) 发
的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向。
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性
x1 ，a等效增益为常值， 即线性段斜率；
而 x1 ，a输出饱和，等
效增益随输入信号的加 大逐渐减小。
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性的影响 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的平稳 性有利。 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时，将 使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。 带饱和的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有 收敛的性质，系统最终可能稳定，最坏的情况就是 自振，而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况：李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近 稳定、不稳定。
几 种 典 型 的 非 线 性 特 性
1.1 非线性系统相关基本概念
不灵敏区（死区）特性
x1表示输入 x2表示输出
△ 表示不灵敏区， 也常称死区。
1.1 非线性系统相关基本概念
不灵敏区（死区）特性的影响
当系统前向通道中串有死区特性的元件时， 最主要的影响是增大了系统的稳态误差，降 低了定位精度。
解析 方法
SISO的代数 分析方法
1892年俄国数 学家李雅普诺夫
Routh判据 Houwitz判据
第一 方法
第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判
定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
关于李雅普诺夫稳定性的基本概念
系统的结构
系统的参数
线性系统的稳定性 系统的结构和参数 初始条件 外界信号的类型和大小
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的运动形式 （1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时 很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的自振 非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在，性系统相关基本概念
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t，
使得：
f (xe , t) 0
(1-3)
成立，则称 xe 为系统的平衡状态。
说明:
1）对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.
2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.
3) 当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时，称此
1.1 非线性系统相关基本概念
继电器特性的影响
理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。 可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对
其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析
非线性系统的稳定性
李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性 系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了 对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统状态的运动及平衡状态
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
x f [x,t]
(1-1)
式中：x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数；是 x和i 时间