数列最值问题数列的最值问题教学目的1、会通过研究数列}{a通项的规律，判断其n前n项和S的最值情况；n2、会利用函数思想研究数列的最值问题；3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系和相互转化。

数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下2种类型：类型1求数列}a的前n项和n S的最值，主要是两种思{n路：（1）研究数列)(n f的项的情况，判断n S的最an值；（2）直接研究nS 的通项公式，即利用类型2的思路求nS 的最值。

类型2求数列}{na 的最值，主要有两种方法：（1）利用差值比较法若有)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则nn a a >+1，则121n n a a a a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅，即数列}{na 是单调递增数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =； 若有)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则nn a a <+1，则121n n a a a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅，即数列}{na 是单调递减数列，所以数列}{na 的最大项为)1(1f a =.值；（2）利用商值比较法若有0)(>=n f an对于一切n ∈N*成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则nn a a>+1，则121n n a aa a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f an对于一切n ∈N*成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则nn a a<+1，则121n n aa a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =.例1、在等差数列}{na 中，1,101-==d a，nS 为}{na 前n项和，求nS 的最大值。

解法1：研究数列na 的正数与负数项的情况110≤⇒≥n a n ，又011=a，∴当n=10或n=11时，nS 取到最大值55。

解法2：821)221(2122+--=n S n ，∴当n=10或n=11时，nS 取到最大值55。

练习：已知等差数列{}na （d<0）其前n 项和为nS ，若179S S=，问{}n S 中哪一项最大？解：因为179S S = 0a a a171110=+++∴又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+0a a 1413=+∴，因为d<0所以数列{}na 单调递减，于是0a ,0a1413<> 14S ∴最大例2、已知函数xxx f 63)(2+-= ，S n 是数列}{na 的前n项和，点（n ，S n ）（n ∈N*）在曲线)(x f y =上. （Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n nb，6n n na b c⋅=，且T n 是数列}{nc 的前n项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又xxx f 63)(2+-=，所以nn Sn632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n nS S a,69)]1(6)1(3[)63(22n•n n n n -=-+---+-=所以na n69-=.（Ⅱ）因为•••n n b a •••c •n b n n n n n n ,)21)(23(6)21)(69(61,1)21(1-=-==-=- ①所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132•n T n n -++-+-+=②,)21)(23()21)(3()21()1()21(211432•n T n n +-++-++-+= ③②－③得132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n nn T， ④策略一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11•n n n ••••••••n n ••••••••n n T T n n nn n n n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T所以nn T T<+1，所以>>>>>>+1321n n T T T T T. 所以T n 存在最大值.211•T=策略二 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n nn T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T n n n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即nn T T <+1.所以>>>>>>+1321n n T T T T T /所以T n 存在最大值211=T.练习：1.(2014杭州市一模数学（理）试题）设数{}na 满足：123()n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈．(I)求证：数列{}1na -是等比数列；(Ⅱ)若(2)(1)nn bn a =--，且对任意的正整数n ，都有214nbt t +≤，求实数t 的取值范围．2.（浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-.(Ⅰ)证明:数列2nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列; (Ⅱ)若不等式na n n)5(322λ-<--对*∈∀N n 恒成立,求λ的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当1n =时,21122Sa =-得14a=122n n n S a +=-,当2n ≥时,1122nn n Sa --=-,两式相减得1222nn n n a a a -=-- 即122nnn aa -=+,所以1111111112211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ---------+-=-=+-= 又1122a=,所以数列2nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列3.已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n nan N =∈（1）求数列}{na 的通项公式； （2）设12,2nnn n na bT b b b ==++⋅⋅⋅+，若11nm Tm +<-对一切*N n ∈均成立，求m 的范围； 解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n an n∈-==-（2）由（1）得nnn b 212-=， n n nn n T2122322523211321-+-++++=∴-①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n nn n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . nn n nn n T23232122132+-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f nn得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→nT又11n m T m +<-恒成立，13121m m m +≥⇒<≤- 4.在数列}{na 中，)111(,111+-==+n a an a n (n ∈N*)，（Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n >1的自然数，不等式12212log(1)123n n n a a a a ++++⋅⋅⋅+>-+恒成立，试求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为•n an )111(1+-=+，a n (n ∈N*)，a =1，所以a n >0. 所以11+=+n na a n n . 所以11112211121121a na n n n n a a a a a a a a n n n n n =•--•-=••=--- . 而a 1=1，所以na n 1=.（Ⅱ）设nn n na a a b221+++=++ (n ∈N*)，m由（Ⅰ）知nan1=，所以nn n bn212111+++++=，所以2211212131211+++++++++=+n n n n n b n ，所以0)22)(12(1111211211>++=+-+++=-+n n n n n b b n n .所以数列}{nb 是单调递增数列. 所以当2≥n 时，b n 的最小值为1272211212=+++=b.所以要使对于一切n >1的自然数，不等式32)1(log 121221+->+++++a a a a a n n n 恒成立，则需且只需)1(log 121127->a a 32+，则1)1(log-<-a a. 所以aa 110<-<，解之得2511+<<a .故所求实数a 的取值范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<2511a a .。