求数列最值的12种题型
题型一：递推问题
1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=
3+a n 2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n 2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12
)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32
.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得
当a 1>32
时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0
∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题
2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=
a n 2a n +1(*n N ∈),数列{
b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设n n n
b C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n n a a a a a ++=
⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21
n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3
n n b n N -=⋅∈.
1122(2)(21)4()4(21)(33
n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则
12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)233225
21(21)32m m m m m m
m m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩
,∴3m =.
即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939
C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.
题型三：公共项问题
3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32
(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。

（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通
项公式为d n ＝32n +1;
（3）设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和，D n 为数列{d n }的前n 项和，T n ＝B r －D n ，求∞→n lim T n a n 4
.解（1）由A n ＝32(a n －1)，可知A n ＋1＝32(a n ＋1－1)∴A n ＋1－A n ＝32(a n ＋1－a n )＝a n ＋1，即a n ＋1a n ＝3而a 1＝A 1＝32
(a 1－1)，得a 1＝3所以数列{a n }是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 。

（2）∵32n ＋1＝3·32n ＝3·(4－1)2n
＝3×（42n ＋C 12n ·42n －1(－1)＋…＋C 2n 2n －1·4·(－1)＋(－1)2n ）
＝4m ＋3∴32n ＋1∈{b n }
而32n ＝（4－1）2n
＝42n ＋C 2n 1·42n －1·（－1）＋…＋C 2n 2n －1·4·(－1)＋(－1)2n
＝(4k ＋1)
∴32n ∉{b n }而数列{a n }＝{32n ＋1}∪{32n }∴d n ＝32n ＋1
(3)由32n ＋1＝4·r ＋3，可知r ＝32n ＋1－34∵B r ＝r(7＋4r ＋3)2＝r(2r ＋5)＝32n ＋1－34·32n ＋1＋72D n ＝271－9
·(1－9n )＝278(9n －1)∴T n ＝B r －D n ＝92n ＋1＋4·32n ＋1－218
－278(9n －1)
＝98·34n －158·32n ＋34
又∵（a n ）4＝34n ,∴∞→n lim T n a n 4＝98
题型四：存在性问题4.等比数列．．．．{}n c 满足114
10-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 满足1
1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的
值；若不存在，请说明理由．（6分）
（1）解：40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q ,
10411=+c c 计算出21=c ,121242--=⋅=n n n c 1
2-=∴n a n （2）11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ （3）假设否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列，则
2121321m n m n ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，可得2232410m m n m
-++=>，由分子为正，解得661122
m -<<+，由,1m N m *∈>，得2m =，此时12n =，当且仅当2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列.说明：只有结论，2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列.若学生没有说明理由，则要扣分.题型五：类比问题
5.已知数列{}n a 为d≠0的等差数列,对于p,q *∈N ,且p≠q (1)求证:q p a a q
p --是不依赖于p,q 的常数;
(2)对于p ＜q ＜r(p,q,r *∈N ),试证:(r －p)a q =(q －p)a r +(r －q)a p;
正数数列{b n }是公比不等于1的GP,类似(1)(2)的等式是什么?并加以证明?题型六：放缩问题
6.已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满足x 、y ∈（－1，1）有
)1()()(xy y x f y f x f ++=+．（1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；。