专题五 数列问题二：数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若10,0k k a a +<>，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若10,0k k a a +><，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。

四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156nn +=1156n n+,因为156n n +≥1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减； (2)求数列{a n }的最大项.【解析】因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0,所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小. (1)证明：令a na n －1≥1(n ≥2),即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1,整理得n ＋1n ≥1110,解得n ≤10. 令a na n ＋1≥1,即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1,整理得n ＋1n ＋2≥1011,解得n ≥9. ∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减. (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法. (二) 数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差 数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ,B 为常数)．(3)利用⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【小试牛刀】【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列{}n a 中， 761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时， n 的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A【解析】数列{}n a 为等差数列，若761a a <-，则7660a aa +<，可得0d < 60a ∴>， 760a a +<， 70a <，111620a a a ∴+=>， 110S >112760a a a a +=+<， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列， ()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】114a S m ==+，当2n ≥时， 12n n n n a S S -=-=，由145,,2a a a -成等差数列可得41522a a a =+-，即4522422m ⨯+++-，解得2m =-，故2n n a =，则()()1111112121n n n n n n a b a a ++==-----，故2231111111111212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由20172018n T >得1120171212018n +->-，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10. 【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使345n T >成立时n 的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,()13log 12n n a -+=,()221321log 124n n n n b a ---=+==,则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……. 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈,所以6n ≥,于是345n T >成立时n 的最小值为6. (四) 求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数t 的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为1,公差为3的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-. (2)由32n a n =- ,可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤,所以实数t 的最大值是1. 【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 . 【答案】5五、迁移运用1.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ）A. 51B. 52C. 53D. 54 【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()()()1234112112312112n n n n n S a a a a a a n -+=++++++=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<， 5217381350S =>，所以这样的偶数不存在若n 为奇数，则若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立 若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立 故选A点睛：本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当n 为偶数、n 为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论2．【福建省三明市A 片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ）A. 32B. 16C. 8D. 4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q > ∵4a 与10a 的等比中项为4∴2241074a a a ==，∴74a =∴22275972222882883223232a a a a q q q q q q+=+=+≥⨯= 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q==，故选A 3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12nn n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D 【解析】因为11111121111112(1)1(1)222n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+++=⇒=+⇒+=+⇒+=+=+,所以1(2)2n n b n λ+=-⋅,因为数列{}n b 是单调递增数列,所以当2n ≥时113(2)2(12)2212212n n n n b b n n n λλλλλ-+>⇒-⋅>--⋅⇒>-⇒>-⇒<；当1n =时,213(12)22b b λλλ>⇒-⋅>-⇒<,因此23λ<,选D. 5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133C ．4D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大．【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值． 7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()nSf n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ．9．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式()()2*13222N n n S M n a a n ++≤+∈恒成立，则M 的最小值为__________．【答案】6259【解析】由题可知： ()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立，即()()1322n M n n +≤++恒成立，设t=n+1，则()()()()21131322311323132n t tn n t t t t t t+===++++++++，因为函数31t t +在()0,3131+∞递减，（，）递增， ()()5667565,6565f f ==<，所以311259324366t t ++≥=，所以M 的最小值是625910．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【答案】3【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332424322a a a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,3a a ≥≥，即3a 的最小值为3. 11．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得1500n n S na +-+<的最小正整数n 的值为__________． 【答案】512．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有111126{ 32b b d b d b d ++=+++=，解得15,2b d ==-，故27n b n =-+.()12212222nn nb b b -++++= ，故当3n =时，取得最大值为92512=.13．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列25121225,,,S S S a a a ⋯的最大项是第________项. 【答案】13【解析】因为250S >， 260S <，所以()()()125131312613141425262500;1300;22a a a a a a a a a +=>∴>+=+<∴< 所以13S 最大, 13a 为最小正数项,因此1313S a 最大,即最大项是第13项. 14.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________. 【答案】9【解析】当2n ≥ 时， 211n n n n a S S S ---=（） ，即()2112n n n n S S S S ---= ，展开化为：1140n n n n S S S S ----=（）（）， ∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S 114n n n n S S S S --∴≠∴=．， ∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．11221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211{ 342n n n a n -∴=⨯≥，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-， 则()2120222n n n b b b n n +-++⋯+==-． 则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++ 361312391n n =++-≥-=+ 当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立.故答案为915．【山西省太原市2018届高三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()121nn S a =-， 416a =，*n N ∈.（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.【解析】（1）由题得4431816a S S a =-==，解得12a =， 故122n n S +=-，则2n ≥时， 12n n n n a S S -=-=，令1n =， 12a =成立， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）22n n n b =， ()222111121222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=. 当12n ≤≤时， 2210n n -++>，则1n n b b +>， 当3n ≥时， 2210n n -++<，则1n n b b +<， 故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减， 所以数列{}n b 的最大项为398b =. 16.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,212n nn S a a =+,n N *∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ,求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2nT <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,17.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5,即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n )21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.18.公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列, 且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n﹣1．19.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩ …,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（3）由136a …,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…,可归纳证明()362,3,n a n = ….因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…,所以2a 是2的倍数.从而当3n …时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n …时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n …时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8. 当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.。