孤立导体的电容 孤立导体球的电容
C? Q U
C ? 4?? 0R
平行板电容器 同心球形电容器 同轴柱形电容器
C ? ?0?r S
d
C ? 4?? 0?r R1R2 /(R2 ? R1 )
C ? 2??0?r L
ln R2 / R1
17
3.静电场中的电介质
电介质对电场的影响
电位移矢量
D ? ?0E ? P
P
还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。
2. 求静电场的方法：
(1)求 E
场强叠加法 高斯定理法 电势梯度法
?
? E
?d
? s
?
q内
?S?
?0
E ? ? grad V
补偿法
8
??场强积分法：Up ?
?
?( P0 ) r
E
(P )
·d
r l
(2)求U ????
（E分段，积分也要分段）
??
??叠加法：U ? ? Ui（零点要同）；
???U ? ???U
? ?
1
4?? 0
1
4?? 0
Q R Q r
(r ? R) (r ? R)
? ??
E
?
?
1
4?? 0
Qr R3
? ??
E
?
1
4?? 0
Q r2
(r ? R) (r ? R)
无限长均匀带电直线： E ? 1 ?
2?? 0 r
14
均匀带电半径为 R的细 圆环轴线上一点：
E? 1
Qx
4?? 0 (x2 ? R2 )3/ 2
U
?
1
4?? 0
( x2
Q ? R2 ): (距电偶极子中心 x)
E? ? 2?0
v E
?
1
4?? 0
v 2p x3
电偶极子中垂线上一点 : (距电偶极子中心距离 y)
v E?
?
1
4?? 0
pv y3
15
i
V ? ?q 4?d?q0r （ U? ? 0）。
9
（3）电势、电势差的计算
1).方法一：场强积分法 (由定义) 步骤： (1) 先算场强 (2)选择合适的路径 L (3)分段积分 (计算)
2).方法二：电势叠加法 步骤：(1)把带电体 ? 分为无限多电荷元 dq (2)由dq ? dU
(3)由dU ? U = ?dU
E? ? 2?0
无限长柱面？
3.电势差： 电场中a、b两点的电势差，在数值上
等于单位正电荷从 a点移到b点时，电
场力做的功。
bv v
? U ab ? U a ? Ub ?
E ?dl
a
4.电势能： 电荷q在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷 q从该点移到电势零 点时，电场力所做的功。
(0) v v
4?? 0 i?1 ri
? 连续分布电荷的电势： U ? 1 dq
4?? 0 r
电场强度与电势的关系 E ? ?? U
4
注重典型场 注重叠加原理
? E
?
Q
4π?0r 2
r?
U? Q
4 π?0 r
r <R E?0
U
?
Q
4 π? 0 R
r
>R
? E?
Q
4π?0r 2
r?
U? Q
4π?0r
E
?
? 2π?0r
相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元 dV=4πr2dr；在轴对
称的电场中取薄圆柱壳为体积元 dV=2πrldr。
??? （c）按照电场能公式：We ? V wedV
正确定出积分上下限，计算出结果。
20
1.如图，在一电荷体密度为? 的均匀带电球体中，挖出一个以
O′为球心的球?状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的
大学物理
——静电学部分
2015.5.18
1
基本概念
1.电场强度： 电场中某点电场强度在数值上等于单
位正电荷在该点受力
vv E ? F /q
点电荷的场强： 电荷组的场强：
v E
?
q
4??0r 2
r er
? v
E?
1
4?? 0
n i?1
qi ri 2
r eri
? 连续分布电荷的场强：
v E
?
1
4?? 0
D的高斯定理
??D ?dS ? ? q0
S
在电场具有某种对称性的情况下 ,可以首先由高斯定 理求解出电位移矢量 D:
思路
???
D ? E ? P ? ? ?? q?
18
4. 能量：
电容器的储能：
We
?
1 2
Q2 C
?
1 C?U2 2
?
1 Q? U 2
静电场的能量密度
we
?
1?E2
2
? 1 DE ? 1 D ?E
3. 几种典型电荷分布的 E 和 V
点电荷（？） 均匀带电球面（？） 均匀带电球体（？） 均匀带电无限长直线（？） 均匀带电无限大平面（？） 均匀带电细圆环轴线上一点（？） 无限长均匀带电圆柱面（？）
11
均匀带电球面：
?0
?
? ??
E
?
1
4?? 0
Q r2
(r ? R) (r ? R)
均匀带电球体：
? 电荷的面密度d, s 面元
3)电荷体分布 .dq ? ? dV
? 电荷的体密度 ,dV 体积元
2.电势： 电场中某点的电势在数值上等于将单位
正电荷由该点移动到电势零点时电场力
所做的功 点电荷的电势：
? U p
?
WP q0
?
(0) v v E ?dl
p
U? q
4??0 r
电荷组的电势：
? U ? 1 n qi
dq r r 2 er
2
场源为点电荷：
E
?
1
4?? 0
q r2
r?
场源为点电荷系 ：
? E ?
n1
i ?1 4?? 0
qi ri 2
e
ri
场源电荷连续分布
：dE
?
dq
4??0r 2
er
? ? E ?
dE ?
dq
4?? 0 r
2
er
1)电荷线分 dq ? ?dx
布.?电荷的线密度, dx线元
2)电荷面分布 . dq ? ? ds
2.导体的静电平衡
静电平衡---导体内部和表面无电荷定向移动
推论：静电平衡时,导体表面场强垂直表面
导体是个等势体，导体表面是个等势面．
有导体存在时静电场的分析与计算
电场
导体上的电荷重新分布
相互影响
利用：
静电场的基本规律 （高斯定理和环路定理）
静电场的叠加原理
电荷守恒定律
导体的静电平衡条件
16
电容： 表征导体和导体组静电性质的一个物理量
? Wa ? a qE ?dl ? qU a
6
基本规律
一、 真空中的静电场
1. 线索
? 库仑定律 ?
? ? ? ?
E ?
? E
? ?
F
?
/?q0 Ei
? ? ?
?
? ?高斯定理： E ?d s ?
?
S
q
?0
???静电场的环路定理：L E ?d l ? 0
? P点电势：U P ?
(
P0
)
r E
?d
r l
2
2
对任意电场都适合
? 静电场的能量 W e ? wedV
19
V
电场能量的计算
（1）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：
W
?
1
Q2
?
1 CU 2
?
1 QU
2C 2
2
（2）电场能量计算的步骤：
（a）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电
场能量密度
we
?
1 DE 2
?
1 ?E2
2
（b）取适当的体积元dV，在所取的体积元中各点的电场强度量值