、过三次函数上一点的切线问题。
32设点p 为三次函数f （x ） ax bx ex d （a 0）图象上任一点，则过点P 一定有直线与y f （x ）的图象相切。
若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三次函数图象的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。
证明 设P （x i ，y i ） 过点P 的切线可以分为两类。
1、 P 为切点k 1 f /(x 1) 3ax 12 2bx 1 e ，2切线方程为：y y_! (3ax 12bx 1 e)(x x 1)f （x ）图象的切线，切于另一点 Q （ X 2, y 2）当X 1K—时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切线。
3a当X 1—时,3ak 1 k 2，所以过点 P 有两条不同的切线。
其切线方程为:y y 1 (3ax 12 2bx 1e)(x X 1)3 2 1 b 2y y 1(— ax 1 4 bx 1 2 e)(x X 1) 4a由上可得下面结论：过三次函数 f （X ） 3,2ax bx exd (a 0）上异于对称中心的任一点 卩1（人，％）作y f （x ）图象的切线，切于另一点P 2（X 2，y 2），过P 2（X 2,y 2）作y f （x ）图象的切线切于P 3（X 3,y 3），如此继续，得到点列三次函数切线问题k2y2%3ax 23axbx ； bx, ex 2 ex-! X 2ax 2ax 1又k 2f/(X2)23ax 22bx 2 eax2 2ax 1 X 2 2ax 1bx 1 bx 2即 (X 2 X 1 )(2x 2X」） 0 x 2a得3 2 1 b 2k 2ax 1 — bx 1 e42 4a2讨论：当 k 1 k 2 时，3ax 1 2bx 1 ee 3ax 222bx 2 e1 bX 1代入（ 1 )式 2 2a3 21b 2 e ，得 X 1b—ax 1 bx 1424a3aP 不是切点，过P 点作y2ax 1x 2 2bx 1 bx 2 e(1)X n 1 X n2、过三次函数外一点的切线问题。
则切线方程为 y y 1 (3ax 12 2bx 1 c)(x x 1),把点P(x o , y o )代入得：322ax 1 (b 3ax o )x 1 2bx o X 1 y o d cx o 0,设 g(x) 2ax 3 (b 3ax 0)x 2 2bx 0x y 0 d cx 0.(1) 右X o,则过点P 恰有- 条切线；3a(2) 右X ob ,且 g(x o )g( )0，则过点P 恰有一条切线；3a 3a(3)若X o —,且 g(x o )g()=0，则过点P 有两条不冋的切线;3a 3a(4) 若X o b , 、 ， b 、八3a ,且g(X o )g( 3a ) °，则过点P有三条不同的切线。
其中 g(x):Y O f (x) f /(x)(xX o ).证明 设过点 P 作直线与y f (X)图象相切于点Q(x 1, y 1),f (x)图象相切。
y P 4 ( X 4 , y 4 ) - P n (x n , yn ) ------ ，则 X n 11X n 2 —，且当n2a 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
明：设过P n (X n ，y n ) f (x)图象切于点P n 1(X n 1, Y n 1)的切线为 P n P n 1 ，y n 1y n2 aX n 1aX n21X n aX nbX n i bx nk f /(X 1 2 1) 3axn 12bX n 2 2 aX n 1aX n 1X n aXnbx n ibX n c = 3ax n2bX n即(X n 1X n )(2X n 1X nX n 1 b 2a设X n 1数列｛ X n舟(X n2b｝是公比为b 3a1的等比数列,X n3ab 1 n 1 (X13a )(lim x nn_b_ o3a设点P (X g , y o )为三次函数f (x) ax 3bx 2cx d(a 0)图象外，则过点P 一定有直线与2 24(b 3ax o )48abx o4(3ax ° b),b令 g/(x)。
,则 x X 0,X 看y g(x)与X 轴只相交一次，即 y g(x)在R 上为单调y g(x)与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以X 。
—,且g(x °)g( —)=0时，过点P 有两条不同的切线。
3a 3ay g(x)与X 轴有三个公共点，即 y g(x)有一个极大值,1 3 a 2例2、(2010湖北文数)设函数f(x ) = — x 3 x 2 bx c ,其中a >0，曲线y f(x )在点p (0, f(0))3 2处的切线方程为y=1 (1) 确定b 、c 的值。
(n)设曲线y f(x )在点(X 1, f(X 1))及(X 2, f(X 2))处的切线都过点(0,2)证明：当X 1 X 2时,f'(X 1)f'(X 2)(川)若过点(0,2)可作曲线y f(x )的三条不同切线，求 a 的取值范围。
例 3、已知函数 f (x) ?x 3 ax 2 bx ，且 f '( 1) 03(1)试用含a 的代数式表示b,并求f (x)的单调区间；(2)令 a 1,设函数 f(x)在 X 1,X 2(X 1 X 2)处取得极值，记点 M ( X 1, f(x 1)),N(X 2, f (X 2)), P(m, f(m)),X 1 m X 2,请仔细观察曲线f (x)在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：(I )若对任意的m (X 1, X 2),线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；(II )若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围(不必给出求解过程)三次函数切线作业因为g(x) 0恰有一个实根的充要条件是曲线 函数或两极值同号，所以 x 0—,或x 03ab 3a，且g(xo)g( 3a )0时，过点P 恰有一条切线。
g (x) 0有两个不同实根的充要条件是曲线g (x)0有三个不同实根的充要条件是曲线一个极小值，且两极值异号。
所以 X 。
例题讲解： b /、/ b 、看且g(x0)g(如)0时，过点P 有三条不同的切线。
例1、已知函数y x 3x ，求过点A 1, 0的切线方程。
1曲线y x3 3x在点P( 2, 14)处的切线方程是。
2、已知曲线C: f(x) x3x 2，则经过点P(1,2)的曲线C的切线方程是。
3、已知曲线C: f (x) x33x2 2x a的一条切线方程为y 2x，则实数a的值等于4、已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值。
(I)求函数f(x)的解析式；(n)求证：对于区间［—1, 1］上任意两个自变量的值x i ,x2，都有f & f X2 4 ；(川)若过点 A (1, m) (m2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围•3 25、已知函数.f (x) 2x ax与g(x) bx cx的图象都过点P(2, 0)，且在点P处有公共切线.(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；mg(x)⑵设F(x) In (x 1)，其中m 0,求F(x)的单调区间.8x三次函数切线问题参考答案例1、解：f x 3x2 1 ,若A是切点，则切线方程为y o 2X 1 y 2x 2若A 不是切点，设切点为t,t 3 t ,则切线方程为y t 3t 3t 2 1 x t ,将A1,0代入得2 13 2t 3 3t 2 1 0 2t 3 2t 2 t 2 1 t 1 2t 1 0，所以切点为 -，则切线方程为x 4y 1 0。
2 8小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线 上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。
例2、ff ： C ] ） flj/（x>=—x 5>£uc + c Kjt /（O} = ? f ■塔 + b ・■J**= fM 礼点w/<w ）处的切找力ft?ry = i, fflAo^Lf ⑴=0.故 h 0. u ■ I ■而占2②征呦找上・所以= F3満足的方艸为0-$ 2-3 2下画用反证法匹删假设广（曲2於&3 于曲绳在点3及（七』（£»处的切线都试 点（0. 2J.町I*列等式成立一二只一一谥十1 (2)3 - 2X ： - ax. = -^JX 2 ....... (引由(3}弼科十e> = a.由(1) — (2)得讨亍咼丁1「右=—口' (4)" "45(if +j t r 2 +xj -(X[ + -儿抚-- r @ -x 2) ■ K? -ax } + a 1 —(rj —F +-a24>v4故由(<)砌 斗此时咕彳砌工心和r所以他)d(ni)由<n> itjg <o - 2)町作y=fM 切线，等价十方程2-/(r) = /f (r)(O'r)育三个相昇府冥根，即等价『方幄一尸一一八十1 = 0商二个相卑的实楓一- I Jt 22厂匕）=疋tllf的切嫌万秤为32 设£幺)=彳”—彳/ +L==由于cr a 0.故有由 曲)的单调性知：^1t£(O = 0有三个相肆的实根「当且仅当1—・cr>2V3,・"的取值范闱是(2V3.4^).例3、解法一：2(I )依题意，得f '(x) X2ax b由 f '( 1) 1 2a b 0得 b 2a 1.1 3 2从而 f(x) x ax (2a 1)x,故 f '(x) (x 1)(x 2a 1). 3 令 f'(x) 0,得x1 或 x 1 2a.① 当a>1时，1 2a 1由此得，函数f(x)的单调增区间为(,1 2a)和(1,)，单调减区间为(1 2 a, 1)。
②当a 1时，1 2a 1此时有f'(x) 0恒成立，且仅在x 1处f'(x) 0，故函数f (x)的单调增区间为R ③当a 1时，1 2a 1同理可得，函数 f(x)的单调增区间为(，1)和(1 2a,)，单调减区间为(1,1 2a)综上： 当a 1时,函数 f(x)的单调增区间为 (,12a)和(1,)，单调减区间为 (1 2a, 1)；当a 1时, 函数 f(x)的单调增区间为 R ;当a1时,函数f(x)的单调增区间为 (,1)和(1 2a, )，单调减区间为 (1,1 2a).(n )由 a 1 3 21 得 f (x) x x 3x 令 f (x)x 2 2x 30 得 ％ 1,X 23由(1 )得f(x)增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数f(x)在处x i1,X 2 35取得极值，故M ( 1二)N ( 3, 9 )。