高考中三次函数图象的切线问题
浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500
三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.
一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f
1、0>a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
->时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
-<时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
->时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/
1、 0>a 当a
b x 3-=时，.33)(2min /a b a
c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a
b a
c c bx ax 33232
2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：
).3(33)3(2a
b x a b a
c a b f y +-=-- 当a
b a
c k 332
->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a
b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
当a
b a
c k 332
-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。
2、0<a 时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1 P 为切点 c bx ax x f k ++==12
11/123)(
切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-
2 P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ） 12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=212
12122
又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1） ∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22
223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ a
b x x 22112--=代入（1）式
得 c a
b bx ax k +-+=421432
1212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12
123c a b bx ax +-+421432
121 ∴ a
b x 31-
=，也就是说， ∴ 当a
b x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当a b x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(112
11x x c bx ax y y -++=- ))(42143(12
1211x x c a b bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：
过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a
b x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
证明 设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，
c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n
n n n +++++=--=+++++1212111 又 c bx ax x f k n n n ++==+++1211/23)(
∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12
123 即 0)2)((11=++-++a b x x x x n n n n ∴ a
b x x n n 2211--=+ 设)(211λλ+-=++n n x x 则a
b 3=λ ∴ 数列}3{a b x n +是公比为2
1-的等比数列， 11)21)(3(3--++-=n n a b x a b x 即 a
b x n n 3lim -
=∞→。
三、过三次函数图象外一点的切线
设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外 一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
（1） 若,30a
b x -
=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。
其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-=
证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=
,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=
,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆ 令,0)(/=x g 则.3,0a
b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。
0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -
≠且)3()(0a
b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。
0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共
点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。
所以,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。