一般n 次曲线切线方程的推导
光信1001 黄飞洪 关键词：一般n 次曲线，某点的切线方程，
提要：在求曲线上某点的切线时，通常会使用先求导得到斜率后再求切线，此法在二次曲线中尚可使用，但如果是n 次曲线就不大现实了，因此如果能找到该类曲线切线的某些规律，在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间
首先，我们先来分析几个比较特殊的例子：
○1圆A ：x 2+y 2=r 2在（x 0,y 0）处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2
○2椭圆B ：A 2a)x +（+B b y 2
)(+=1在（x 0,y 0）处的切线方程为1))(())((00=+++++B
b y b y A a x a x ○3双曲线C ：A 2a)x +（-B b y 2
)(+在（x 0,y 0
）处的切线方程为1))(())((00=++-++B
b y b y A a x a x ○4抛物线C ：y 2
=2px 在（x 0,y 0）处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程，总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2（或y 2）型变为x 0x （或y 0y ）型，x(或y)型转变为2
0x x +（或20y y +）型，但在一般的二次曲线中包含了xy 的项，那么，这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢？ 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在（x 0,y 0）处的切线方程
方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0
y’= -E
Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在（x 0,y 0）处的切线方程为y-y 0= -
E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0)
整理可得Ax 0x+B 200y y x x ++Cy 0.y+D 2
0x x ++E 20y y ++F=0 由分析可发现，一般曲线与特殊曲线的切线在框架上是类似的，只是将xy 项转变为2
00x y y x +若将y 换为x ，得到的仍为x 2→x 的变化。

因而二次曲线求某点的切线时，可看作在原 框架上作变化为a 20a a +→,ab 2
00a b b a +→(a,b 为变量) 同样的方法，对于三次曲线
F(x,y)=Ax 3+Bx 2y+Cxy 2+Dy 3+Ex 2+Fxy+Gy 2+Hx+Iy+J
在（x 0,y 0）处的切线方程为
Ax 2
0x+B 320020x y x y x ++C 3200.20y y x x y ++Dy 20y+E 32200x x x ++F 30000x y y x y x +++G 32200y y y ++H 320x x ++I 3
20y y ++J=0 推到这里规律也比较明显了：
对于一个n 次曲线，每一项不含系数部分可看作x 1x 2…x n 型（x 1,x 2,…,x n 为变量或1），再将曲线转化为切线的过程中，可看作在原框架的基础上
x 1x 2…x n n
x x x n i n i ∑=→
11......0 其中当x i =1时，其对应x 0i =1 用过这样一条规律，就可以比较快速的求高次曲线在某一点的切线方程，从而省去了中间较为繁琐的求导过程。