Δzi=KΔxi (i=1,2,…n)
中误差：
K [zz] n
2[xx] n
mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx
上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观 测值中误差的K倍。
2、 和、差函数 Z=x±y
推导出下列真误差关系式: Δzi=Δxi ± Δyi (i=1,2,…n)
求上述关系式的平方和并除以n,得
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，
再取其平方根用表示，即：
m 2 122 2n n
[] n
式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数
m称为观测值中误差或一次观测值中误 差
中误差并不等于每个观测值的真误差，它仅 是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任 一个观测值的精度。
2、用真误差计算中误差
②“密集性”：绝对值小的误差比绝对值大的误差 出现的机会多(或概率大)；即越是靠近0，误差 分布越密集；
③“对称性”：绝对值相等的正、负误差 出现的机会相等；即在各个区间内，正 负误差个数相等或极为接近；
④“抵偿性”：在相同条件下，同一量的 等精度观测，其偶然误差的算术平均值， 随着观测次数的无限增大而趋于零;即在 大量的偶然误差中，正负误差有相互抵 消的特征。因此，当n无限增大时，偶然 误差的算术平均值应趋于零。
m 2 122 2n n
[] n
3、用改正数计算中误差 改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，
即： v=x-l
式中： v为观测值的改正数；l为观测值； x为观测值的最或是值
设对某个量进行n次观测，则它的最或是值为
x l1l2 ln [l]
பைடு நூலகம்
n
n
改正数求中误差的白塞尔公式：
m
[vv] n1
上式求得的为一次观测值的中误差。
5.1 概 述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差
6 7
8
估读数会有误差
§ 5-1 概 述
一、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环 境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完 善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常 把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不 理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。 通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度 观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
式中，K１、K２…Kn为常数；x１、x ２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m １、
… m一n般。线性函数中误差的公式为： m２
二、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质， 可分为系统误差和偶然误差。
在相同的观测条件下，对某量进行了n 次观测，如果误差出现的大小和符号均相同 或按一定的规律变化，这种误差称为系统误 差。
系统误差产生的主要原因之一：仪 器设备制造不完善。
系统误差具有明显的规律性和累积性。
在相同的观测条件下，对某量进行了n次 观测，如果误差出现的大小和符号均不一定， 则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。
2 [ z z] [ x x] [ y y]
n
n
n
[ x y] n
当n→∝上式右端第三项趋于0，则按中误 差定义可知
m 2 zm 2 xm 2 y m zm 2 xm 2 y
推广之对n个独立观测值代数和的情形 mＺ2＝mx12＋ mx22 + …+ mxn2
3、一般线性函数
Z=K１x１±K2x２±…±Knxn
理论研究和实验表明，大于两倍中误差 的偶然误差的个数，约占总数的5%左右，大 于三倍中误差的偶然误差的个数，只占总数 的0.3%。
测量上常取三倍中误差作为极限误差Δ
限，也称允许误差，即：Δ限=3m
§5-3 误差传播定律
在实际工作中，某些未 知量不可能或不便于直接进行观测， 而需要由另一些直接观测量根据一 定的函数关系计算出来，这些未知 量即为观测值的函数。例如，在水 准测量中，两点间的高差h=a-b， 则h是直接观测值a和b的函数；在 三角高程测量的计算公式中，如果
偶然误差，就其个别值而言，在观测
前不能预知其出现的大小和符号。
偶然误差只能通过改善观测条件对其加 以控制。
真误差：观测值与真值之差，即：
Δ=［l］-X
L：观测值，X：真值，Δ：真误差(偶然误差)
偶然误差具有四个特征：
①“有界性”：在一定的观测条件下，偶然误差的 绝对值不会超过一定的限值；它说明偶然误差 的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；
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§5-2 衡量精度的指标 测量成果中都不可避免地
含有误差，在测量工作中，使用 “精度”来判断观测成果质量好 坏的。所谓精度，就是指误差分 布的密集或离散程度。误差分布 密集，误差就小，精度就高；反 之，误差分布离散，误差就大， 精度就低。
一、 中误差及其计算
1、中误差（m）
在相同的观测条件下，对同一未知量进
具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：
(1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度 和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导 致测量结果中带有误差。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保 证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然 会给测量带来误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以 及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准 等方面产生误差。
阐述观测值中误差与函数中误差之间数学 关系的定律，称为误差传播定律。
一、 线性函数
1、倍数函数 Z=Kx
式中x为直接观测值，其中误差为mx；Ｋ为常数；Z为 观测值x的函数。
若对x作n次同精度观测，其真误差列为 Δxi(i=1,2,…n)，对应的函数的误差列为Δzi(i=1,2…n)
则观测值与函数间的真误差关系式为
二、相对误差 相对误差能更客观地反映实际测量
精度。 相对误差：中误差的绝对值与相应
观测值之比，用K表示。
m
k
1
l lm
相对误差习惯于用分子为1的分数形式表 示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也 就愈高。
注意：此处的相对误差与按往返测较差所 求得的相对误差是不相同的。
极限误差：简称限差，根据偶然误差的 第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。