测量中，一般取两倍或三倍中误差作为容许误差，也称为限差：
|容|=2|m|或|容|=3|m|
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5.3 误差传播定律
一、倍数函数的中误差
设有函数式 Z kx
(x为观测值，K为x的系数)
全微分 Z kx (i 1,2, , n)
得中误差式 mZ k 2mx2 k m x
图5-1 误差统计直方图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶 然误差的四个特性： 3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = 1—010—00
K2<K1，所以距离S2精度较高。
当观测误差与观测量的大小无关时就不
能采用相对误差。12
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三、容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
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二、相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
分母有效数字的取位及只舍不进规则
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
1.系统误差 — 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差 钢尺尺长误差 钢尺温度误差lt 水准仪视准轴误差I 经纬仪视准轴误差C
……
处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
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2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
几个概念: ● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。
（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
三项又称为观测条件
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二、测量误差的分类
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§5.2 衡量精度的标准
一、中误差
设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观 测值为l1, l2，……， ln，相应的真误差 为Δ1,Δ2，……，Δn Δi = li – X
中误差的定义为： m
n
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例 该段距离的真值为49.982m
每个观测值的中误差都是±4.7mm
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三、偶然误差的统计特性
举例: 在某测区，等精度观测了96个三角形的内
角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
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表5-1
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在 该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐 逼近，对称于y轴。
各条形顶边中 点连线经光滑后 的曲线形状，表 现出偶然误差的 普遍规律
当等精度观测时： m1 m2 m3 mn m
上式可写成：mZ m n
例：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量
(抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差的特性 1）有界性； 2）单峰性； 3）对称性； 4）抵偿性
偶然误差是观测过程中各种偶然误差源 影响的总和。它是无法消除的： 1）偶然误差的不可避免性； 2）偶然误差的随机性； 3）观测次数的有限性。
例：量得 1: 500 地形图上两点间长度d =76mm0.2mm,
计算该两点实地距离D和中误差mD：
解：列函数式
D 500 d
求全微分 中误差式
D 500d mD 500ml 100mm 0.1m S 38m 0.1m
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二、和或差函数的中误差
函数式： 全微分： 中误差式：
第5章 测量误差的基本知识
§5.1 测量误差概述 §5.2 衡量精度的标准 §5.3 误差传播定律 §5.4 算术平均值及其中误差 §5.5 用观测值的改正数计算中误差
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§5.1 测量误差概述
一、 测量误差产生的原因
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式
Z x y
zi xi yi (i 1,2, , n)
m2Z mx2 m2y
lim 顾及了， [x y ] 0
n
n
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特殊的，设
函数式： 全微分： 中误差式：
Z x1 x2 xn
dz dx1 dx2 dxn
mZ m12 m22 mn2
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7