模型/题型：子弹打木块模型
一．模型概述
子弹射击木块的两种典型情况
1．木块放置在光滑的水平面上
运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。
处理方法：把子弹和木块看成一个系统，①系统水平方向动量守恒；②系统的机械能不守恒；③对木块和子弹分别利用动能定理。
2．木块固定在水平面上
运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块静止不动。
处理方法：对子弹应用动能定理或牛顿第二定律。
两种类型的共同点：
(1)系统内相互作用的两物体间的一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值(因为有一部分机械能转化为内能)；系统损失的动能等于系统增加的内能.
(2)摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程，大小为Q ＝F f ·x 相，其中f 是滑动摩擦力的大小，x 是两个物体的相对路程(在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者的相对路程，所以说是一个相对运动问题)。
(3)系统产生的内能，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积.
(4)当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k ＝F f ·L (L 为木块的长度).
二、标准模型
标准模型：一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v 0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为F f .则：
(1)子弹、木块相对静止时的速度是多少？
(2)子弹在木块内运动的时间为多长？
(3)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？
(4)系统损失的机械能、系统增加的内能分别是多少？
(5)要使子弹不射出木块，木块至少多长？
答案 (1)m M ＋m v 0 (2)Mm v 0F f (M ＋m ) (3)Mm (M ＋2m )v 022F f (M ＋m )2 Mm 2v 022F f (M ＋m )2 Mm v 022F f (M ＋m ) (4)Mm v 022(M ＋m ) Mm v 022(M ＋m ) (5)Mm v 022F f (M ＋m )
解析(1)设子弹、木块相对静止时的速度为v ，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得 mv 0＝(M ＋m )v 解得v ＝m
M ＋m
v 0 (2)设子弹在木块内运动的时间为t ，由动量定理得
对木块：F f t ＝Mv －0 解得t ＝Mmv 0F f (M ＋m )
(3)设子弹、木块发生的位移分别为x 1、x 2，如图所示，由动能定理得
对子弹：－F f x 1＝12mv 2－12mv 02 解得：x 1＝Mm (M ＋2m )v 022F f (M ＋m )
2 对木块：F f x 2＝12Mv 2 解得：x 2＝Mm 2v 022F f (M ＋m )2
子弹打进木块的深度等于相对位移，即x 相＝x 1－x 2＝Mmv 022F f (M ＋m ) (4)系统损失的机械能为E 损＝12mv 02－12(M ＋m )v 2＝Mmv 022(M ＋m )
系统增加的内能为Q ＝F f ·x 相＝Mmv 022(M ＋m )
，系统增加的内能等于系统损失的机械能 (5)假设子弹恰好不射出木块，此时有
F f L ＝12mv 02－12(M ＋m )v 2 解得L ＝Mmv 022F f (M ＋m ) 因此木块的长度至少为Mmv 022F f (M ＋m )
.
三、典型例题
1.(子弹打木块的能量) (多选)如图所示，质量为m 的子弹水平射入质量为M 、放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，则从子弹接触木块到随木块一起匀速运动的过程中木块动能增加了5 J ，那么此过程中系统产生的内能可能为( )
A ．16 J
B ．11.2 J
C ．4.8 J
D ．3.4 J
答案 AB.
解析
法二：本题也可用图象法，画出子弹和木块的v －t 图象如图所示，
根据v －t 图象与坐标轴所围面积表示位移，ΔOAt 的面积表示木块的位移s ，
ΔOAv 0的面积表示子弹相对木块的位移d ，系统产生的内能Q ＝fd ，木块得到
的动能E k1＝fs ，从图象中很明显可以看出d >s ，故系统产生的内能大于木块得
到的动能．
2.一质量为M 、长为l 的长方形木板B 放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m <M 。
现以地面为参考系，给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度，如图所示，使A 开始向左运动、B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板。
(1)若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最后速度的大小和方向；
(2)若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。
答案 (1)M －m M ＋m v0 水平向右 (2)M ＋m 4M
l 解析 (1)用动量守恒定律求解：系统水平方向动量守恒，取水平向右为正方向。
小木块A 不滑离B 板的条件是二者最终处于相对静止，设此时共同速度为v 。
由动量守恒定律得：Mv 0－mv 0＝(M ＋m)v ， 可得：v ＝
M －m M ＋m v 0 因为M>m ，故v 方向水平向右。
(2)功能关系：当木块A 相对于地向左运动距离最远时，末速度为零，在这过程中，克服摩擦力F f 做功。