第三章能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N【答案】A【解析】M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N . 2．下列结论成立的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ＋c ＞b ＋dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c 【答案】D【解析】对于A ，当c ＜0时，不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2，不成立；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝3，不成立；对于D ，∵c ＞d ，∴－d ＞－c ，又a ＞b ，∴a －d ＞b －c ，因此成立．故选D ．3．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－2或x ＞3}B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3} 【答案】C【解析】原不等式可化为(x ＋2)(x －1)(x －3)＞0，则该不等式的解集为{x |－2＜x ＜1或x ＞3}．4．(2017年四川自贡模拟)设集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{x |x 2＞4}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,0) B ．(－2,3) C ．(0,2) D ．(2,3)【答案】D【解析】A ＝{x |x 2－3x ＜0}＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＞2或x ＜－2}，则A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．故选D.5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－52 C ．⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ D ．[2，＋∞)【答案】C 【解析】x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立⇔a ≥－x 2－1x对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立⇔a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立．∵y ＝－x －1x 在区间⎝⎛⎦⎤0，12上是增函数，∴－x －1x ≤－12－2＝－52.∴a ≥－52.故选C ． 6．(2017年上海校级联考)已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( )A ．92B ．94C ．2D ．4【答案】B【解析】由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当(x －1)2＝p 即x ＝p ＋1时取等号．∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94.7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－12，＋∞) D ．(－∞，－12] 【答案】A【解析】∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，∴当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 在[1,4]内有解．8．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是( )A BC D【答案】A【解析】由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，3x ＋y ≤10，2x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0.故选A ．9．(2016年广东佛山模拟)若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( )A ．a d >bcB ．a d <b cC ．a c >bdD ．a c <b d【答案】B【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0.而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d ＜bc .故选B ．10．下列函数中，最小值是4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝x ＋4x ≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1，y ＝sin x ＋4sin x ＞4，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4，等号在e x ＝4e x 即e x ＝2时成立；若0＜x ＜1，则log 3x＜0，log x 81＜0，排除D ．故选C ．11．关于x 的不等式px 2＋qx ＋r ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(β＞α＞0)，那么另一个关于x 的不等式rx 2－qx ＋p ＞0的解集应该是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1α＜x ＜1β B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1β＜x ＜1α C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1β＜x ＜－1α D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1α＜x ＜－1β 【答案】D【解析】因为关于x 的不等式px 2＋qx ＋r ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}，所以α和β可看作方程px 2＋qx ＋r ＝0的两个根且p ＜0，则α＋β＝－q p ，α·β＝rp .因为0＜α＜β，p ＜0，所以r＜0.所以rx 2－qx ＋p ＞0，即r p x 2－q p x ＋1＜0，即α·βx 2＋(α＋β)x ＋1＜0，解得－1α＜x ＜－1β.故选D ．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y )(x ＋y －2)≥0，1≤x ≤4，则x ＋2y 的取值范围为( )A ．[12，＋∞)B ．[0,3]C ．[0,12]D ．[3,12]【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0可见当经过可行域内的点A ，B 时，z ＝x ＋2y 分别取得最大值与最小值，∴z max ＝12，z min ＝0，故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集是(1，m )，则m ＝________. 【答案】2【解析】由题意知a ＞0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2.∴不等式为2x 2－6x ＋4＜0，即x 2－3x ＋2＜0.∴1＜x ＜2.∴m ＝2.14．(2016年湖南郴州二模)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．【答案】⎣⎡⎦⎤12，4【解析】满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4的平面区域如图所示．因为y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，所以当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4；当y ＝a (x ＋1)过点A (1，1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，所以12≤a ≤4.15．已知二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－1a 且a ＞b ，则a 2＋b 2a －b 的最小值为________．【答案】22【解析】∵二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－1a ，∴a ＞0且对应方程有两个相等的实根－1a .由根与系数的关系得－1a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝ba ，即ab ＝1，故a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b .∵a ＞b ，∴a －b ＞0.由基本不等式可得(a －b )＋2a －b ≥2(a －b )2a －b＝22，当且仅当a －b ＝2时取等号，故a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝______.【答案】13【解析】由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．【解析】由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2. Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0，∴k 2≥12.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2) ＝6k 2－2≥6×12－2＝1.∴x 21＋x 22的最小值为1.18．(本小题满分12分)(1)比较(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2两个代数式值的大小，并说明理由； (2)解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2＜0.【解析】(1)∵(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝(x 2＋12x ＋35)－(x 2＋12x ＋36)＝－1＜0， ∴(x ＋5)(x ＋7)＜(x ＋6)2.(2)∵56x 2＋ax －a 2＜0，∴(7x ＋a )(8x －a )＜0，即⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－a 7⎝⎛⎭⎫x －a 8＜0. ①当a ＝0时，－a 7＝a8，不等式化为x 2＜0，解得x ∈∅.②当a ＞0时，－a 7＜a8，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －a 7＜x ＜a 8.③当a ＜0时，－a 7＞a8，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a 8＜x ＜－a 7.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足f (－1)＝－2且对于任意x ∈R ，恒有f (x )≥2x 成立．(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式f (x )＜x ＋5.【解析】(1)由f (－1)＝－2知lg b －lg a ＋1＝0， 所以ab＝10.又f (x )≥2x 恒成立，即f (x )－2x ≥0恒成立， 则有x 2＋x ·lg a ＋lg b ≥0恒成立， 故Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0，所以(lg b ＋1)2－4lg b ≤0，即(lg b －1)2≤0. 故lg b ＝1，即b ＝10，a ＝100.(2)由(1)知f (x )＝x 2＋4x ＋1，f (x )＜x ＋5， 即x 2＋4x ＋1＜x ＋5，所以x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1， 因此不等式的解集为{x |－4＜x ＜1}．20．(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y (万元)与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 【解析】(1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1)， 整理，得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为 y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解得0＜x ＜13，∴为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0＜x ＜13.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式f (x )＞0. 【解析】(1)∵不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)， ∴－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)，∵a ＞0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a ＞0.①若－1＝a －2a ，即a ＝1，解集为{x |x ≠－1}．②若－1＞a －2a，即0＜a ＜1，解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜a －2a 或x ＞－1.③若－1＜a －2a，即a ＞1，解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜－1或x ＞a －2a .22．(本小题满分12分)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？【解析】设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y .由题意，x ，y 满足关系式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ，y ∈N ，作出相应的平面区域如图阴影部分所示．z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得交点(7,5)，∴当x ＝7，y ＝5时，450x ＋350y 有最大值4 900. 答：该公司派用甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，获得的利润最大，最大利润为4 900元．。