第 6 讲 二次函数与一元二次方程
知识定位
讲解用时： 3 分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函 数与一元二次方程之间的联系， 能够根据二次函数与 x 轴的交点坐标联系相应方 程的解的情况， 此外了解二次函数与不等式之间的关系， 能够根据图象写出相应 不等式的解集等， 本节课的难点是二次函数与方程、 不等式之间的联系考查， 希 望同学们能够认真学习。
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及一次函数的图象，
①二次函数 y=x2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点， ①① =22﹣4×１（kb+1）＞ 0，解得： kb＜ 0．
当 k＞0，b＜0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；
当 k＜0，b＞0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，故选： A ．
年份： 2018
【例题 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠０）与 x 轴一个交点为（﹣ 2，0），对称轴为直线 x=1，则 y＜0 时 x 的范围是（ ）。 A． x＞ 4 或 x ＜﹣ 2 B．﹣ 2＜x＜4 C．﹣ 2＜x＜3 D．0＜x＜3
【答案】 ﹣ 2＜ x＜ 4
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
讲解用时： 3 分钟 解题思路： 直接利用二次函数图象得出方程 x2+ x+1=0 的根的情况，即抛物线
与 x 轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议： 利用数形结合分析。 难度： 3 适应场景： 当堂例题
例题来源： 朝阳区模拟 年份： 2018
【练习 1】
抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程﹣ x2+bx+c=0 的解为 。
知识梳理
讲解用时： 10 分钟
二次函数与一元二次方程之间的关联
求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠０）与 x 轴的交点坐标， 令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标。 （ 1）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a≠）０的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：
① y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为（﹣ 2，0），
①抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），
①ｙ＜0 时 x 的范围是﹣ 2＜x＜4。
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称性确定抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4， 0），然
后观察函数图象，找出抛物线在 x 轴下方的部分所对应的自变量的范围即可。
年份： 2018
【练习 2】
已知一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1，x2，则抛物线 y=
（ x﹣ x1）（x﹣x2）+5 与 x 轴的交点坐标为
。
【答案】（1，0）、（3，0）
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点，
①一元二次方程（ x﹣1）（x﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，
【答案】 x1=1，x2=﹣3
【解析】 本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法，
由图象可知，抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1，0），对称轴为 x=﹣1， ①抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（﹣ 3，0）， ①一元二次方程 2x2﹣ 4x+m=0 的解为 x1=1，x 2=﹣ 3． 讲解用时： 2 分钟 解题思路： 直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x= ﹣1，所以根据抛
【例题 2】
一元二次方程（ x+1）（ x﹣2）=10 根的情况是（
）。
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣ 1
D．有两个根，其中一根大于 2
【答案】 D
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象与几何变换，
将抛物线 y=（ x+1）（ x﹣ 2）往下平移 10 个单位长度可得出新抛物线 y=（x+1）
课堂精讲精练
【例题 1】
在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，则方程 x2+
x+1=0 的根的情况是（
）。
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】 B
【解析】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，
二次函数 y=x2+ x+1 的图象如图所示，图象与 x 轴有两个交点， 则方程 x2+ x+1=0 的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选： B．
①① =2b﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数； ①① =2b﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； ①① =2b﹣4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； ①① =2b﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． （ 2）二次函数的交点式： y=a（x﹣ x1）（x﹣x2）（a， b， c 是常数， a≠０）， 可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ x1，0），（ x2，0），相应一元二次方 程的根就是 x1 和 x2.
教学建议： 根据函数图象结合二次函数的性质解题。 难度： 3 适应场景： 当堂练习 例题来源： 江都区模拟
年份： 2018
【例题 4】
如图，关于 x 的二次函数 y=2x2﹣ 4x+c 的图象交 x 轴的正半轴于 A ，
B 两点，交 y 轴的正半轴于 C 点，如果 x=a 时， y＜ 0，那么关于 x 的
2 讲解用时： 3 分钟 解题思路： 根据方程的两根即可得出抛物线与 x 轴的两个交点坐标， 再利用抛物 线的对称性即可得出抛物线的对称轴。
教学建议： 根据抛物线与 x 轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴。 难度： 3 适应场景： 当堂例题 例题来源： 宁晋县模拟 年份： 2018
【练习 3】
已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的方
程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为
。
【答案】 2
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质以及根与系数的关
系，
方法一：设 ax2+bx+c=0 的两个根分别为 x1，x2，则二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴
交点坐标为 (x1,0)、 (x2,0) ，由图像可知，二次函数的对称轴为直线
①关于 x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，故选： D．
讲解用时： 5 分钟
解题思路： 根据抛物线的对称轴为直线 x=1 可得出点 B 的横坐标小于 2、c＞0，
进而可得出 2﹣a＞0、﹣ c＜0，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于
x 的一次函数 y=（2﹣ a） x﹣ c 的图象经过第一、三、四象限，此题得解。
B．x=2
C． x= 3 2
D． x=﹣ 3 2
【答案】 C
【解析】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，
①方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1、 x2=2， ①抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（2，0）， ①抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x= 3 ，故选： C．
x=1 ，则
x1 x2 1，即 x1+x2=2. 2
方法二： ①二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，①﹣ =1，① b=﹣ 2a，
①关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为﹣ =2．
讲解用时： 3 分钟
解题思路： 由抛物线的对称轴为 x=1，可得出 b=﹣2a，再根据根与系数的关系即 可得出关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和。
①抛物线 y=（x﹣1）（x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1， 0）、（x2，0），
① y=（x ﹣1）（ x﹣ 3）﹣ 5=（ x﹣ x1）（ x﹣ x2），
① y=（x ﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3），
①抛物线 y=（x﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0）、（ 3， 0）． 讲解用时： 5 分钟 解题思路： 由一元二次方程（ x﹣1）（x ﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2，可
得出抛物线 y=（x﹣ 1）（ x﹣3）﹣ 5 与 x 轴交于点（ x1，0）、（ x2，0），即 y=（x
﹣ 1）（x﹣3）﹣5=（x﹣ x1）（ x﹣ x2），变形后可得出 y=（ x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x
﹣ 1）（x﹣3），即抛物线 y=（x ﹣x1）（x﹣x2） +5 与 x 轴的交点坐标为（ 1， 0）、
教学建议： 利用数形结合解决问题。 难度： 4 适应场景： 当堂例题 例题来源： 桂平市一模
年份： 2017 秋
【练习 5】
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠０）与 x 轴的一个交点坐标为 （3，0），
与 y 轴交点坐标为（ 0，3），顶点坐标为（ 2，1），当 0＜x＜3 时， y
的取值范围是
解题思路：由抛物线的开口方向及顶点坐标， 可得出 a＞0 且对称轴为直线 x=2，
。
【答案】 ﹣ 1≤ｙ＜3