X
的简单随机样本，其中
PX
0 =
PX
1
1 2
，
100
( X ) 为标准正态分布的分布函数，利用中心极限定理可得 P{ X i 55} 近似值为（ ）. i 1
（A）1 (1)
（B） (1)
（C）1 (0.2)
（D） (0.2)
【答案】（B） 【详解】
EX 0 1 1 1 1 2 22
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 l2
:
xa3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一点，记
向量
i
ai bi
，
i
1, 2,3，则（
）
ci
（A）1 可由2 、3 线性表示
（B）2 可由 1 、3 线性表示
（C）3 可由1 、2 线性表示
（D）1 、2 、3 线性无关
100
E( Xi ) 100EX 50 i 1
EX 2 1 2
DX 1 4
100
D( Xi ) 100DX 25 i 1
100
Xi 50
所以， i1
N (0,1)
5
x
ln
1
t3 dt
0
（C） sin x sin t2 dt 0
（D） 1cos x sin3 t dt 0
【答案】（D）
【详解】(A) ( x (et2 1)dt)' ex2 1 x2 (x 0 ) 0
(B) ( x ln(1
t3 dt)' ln(1
3
x3 ) x 2( x 0 )
P( AC) P(BC) 1 ，则 A ， B ， C 恰有一个事件发生的概率是（ ）． 12
（A） 3 4
（B） 2 3
（C） 1 2
（D） 5 12
【答案】（D）
【详解】
P( ABC) P( ABC) P( ABC)
= P( AB C) P(B A C) P(C A B) = P( A) P( A(B C)) P(B) P(B( A C)) P(C) P(C( A B))
（B）当 a2nr 2n 收敛时，则 | r | R n0
（C）当 | r | R 时，则 a2nr 2n 发散 n0
（D）当 | r | R 时，则 a2nr 2n 收敛 n0
【答案】（D） 【详解】由级数收敛半径的性质得 D 正确。
（5）设矩阵 A 经初等列变换得 B ，则（ ）．
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B
n (x, y, f (x, y))
（A） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
n (x, y, f (x, y))
（B） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
(x, y, f (x, y))
（C） lim (x, y)(0,0)
x2 y2
存在
Байду номын сангаас
【答案】（A）
【详解】因为 f (x, y) 在 (0, 0) 可微
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A
【答案】（B）
（D） AX 0 与 BX 0 同解
【详解】由矩阵 A 经过初等列变换得 B ，从而存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, 从而
BQ1 A ，令 P Q1 ，则 BP A ，故选 B.
（6）直线 l1 :
【答案】（C）
【详解】由题知，两条直线的位置关系
如下图：
则可知 AB 3 2 ，且又 AB 与1 和2 共面，
所以可由1 和2 线性表示.
从而3 2 可由1 和2 线性表示，即3 可由1 和2 线性表示.
应选（C）.
（ 7 ） 设 A ， B ， C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P( A) P(B) P(C) 1 ， P( AB) 0 ， 4
0.
【答案】（C）
【详解】（A）反例 f (x) | x |
0, x 0 （B）反例 f (x) 1, x 0
0, x 0
（D) 反例 f (x) x2
（3）函数 f (x, y) 在 (0,0)
可微，
f
(0, 0)
0，n
( f
, f
, 1)
非零向量 与 n 垂
x y
(0,0)
直，则（ ）
从而 lim
x
f
x
y
f
y
f (x, y)
0
x0 y0
x2 y2
n (x, y, f (x, y))
即 lim (x, y)(0,0)
x2 y2
0 ，故选（A）.
（4）设 R 为幂级数 an xn 收敛半径， r 为实数，则（ ） n0
（A）当 a2nr 2n 发散时，则 | r | R n0
（A）若 lim f (x) 0 ，则 f (x) 在 x 0 可导； x0 x
（B）若
lim
x0
f (x) x2
0 ，则
f (x) 在 x 0 可导；
（C）若 f (x) 在 x 0 可导，则 lim f (x) 0 ； x0 x
（D）若
f
(x)
在
x
0 可导，则 lim x0
f (x) x2
2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
（1）当 x 0+ 下列无穷小的阶最高的是（ ）.
（A） x (et2 1) dt 0
（B）
0
(C) ( sin x sin t2dt)' sin(sin2 x) cos x x2 (x 0 ) 0
1cos x
(D) . (
sin3 tdt)'
sin3(1 cos x) sin x cx4 (x 0 )
0
（2）函数 f (x) 在 (1,1) 有定义，且 lim f (x) 0 ，则（ ）． x0
= P( A) P( AB AC) P(B) P( AB BC) P(C) P( AC BC)
= P( A) P( AB) P( AC) P(B) P( AB) P(BC) P(C) P( AC) P(BC)
5
= ,故选 D.
12
（8）
X1, X2
X100
为来自总体
(x, y, f (x, y))
（D） lim ( x, y)(0,0)
x2 y2
存在
所以 lim
f (x, y)
f
x
x
f
y
y
0
x0 y0
x2 y2
又因为 n (x, y, f (x, y)) x fx y fy f (x, y)
所以 lim
x
f
x
y
f
y
f
(x, y)
0
x0 y0
x2 y2