全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 ． 【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义 【难易度】★ 【详解】解析：由11)(ln =='='xx y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .（2）已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ． 【答案】21ln 2x 【考点】不定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】解析：令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(xxx f =' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 21ln 2x .（3）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x Ld 2d -⎰的值为 ． 【答案】π23 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222>=++x y xyx x y x 的通解为 ． 【答案】221x C x C y +=，其中12,C C 为任意常数【考点】欧拉方程 【难易度】★★ 【详解】解析：令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-，][11122222222dtdy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydty d ， 解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- （5）设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ． 【答案】19【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+ 得 *(2)A E BA E -=两边取行列式，得*21A E B A E -==其中 2101203001A ==， 312A A A -*===9 0102100001A E -==1故1192B A E A*==- （6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >= ．【答案】e1【考点】指数分布 【难易度】★★ 【详解】解析：由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11ee x=-∞+-λλ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （7）把0x +→时的无穷小量t t t t t t xxx d sin ,d tan ,d cos 3022⎰⎰⎰===γβα排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ） （A ）,,αβγ （B ）,,αγβ （C ）,,βαγ （D ）,,βγα 【答案】（B ）【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：0cos 2tan lim cos tan limlim 220002=⋅==+++→→→⎰⎰xxx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项， 又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：221000cos cos lim limlim ,x kkk x x x t dt t x x kxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，0lim 1x xα+→=，所以（当+→0x 时）α与x 同阶.2120000tan 22tan lim limlim lim ,x kkk k x x x x x x xx x kx kx β++++--→→→→⋅==⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =,有32lim 3x x β+→=，所以（当+→0x 时）β与3x 同阶. 31322120000sin lim lim lim lim ,22k k k k x x x x t dtx x xx x kx kx γ++++---→→→→==⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =,有201lim 4x x γ+→=，所以（当+→0x 时）γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选（B ）.（8）设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（ ） （A ）()f x 在(0,)δ内单调增加． （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减少． （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >． （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >． 【答案】（C ）【考点】函数极限的局部保号性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：由导数的定义，知,0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，()(0)f x f <; 而当),0(δ∈x 时，有()(0)f x f >. 故应选(C).（9）设nn a∑∞=1为正项级数，下列结论中正确的是（ ）（A ）若0lim =∞→n n na ，则级数nn a∑∞=1收敛．（B ）若存在非零常数λ ，使得λna n n =∞→lim，则级数n n a ∑∞=1发散．（C ）若级数nn a∑∞=1收敛，则0lim2=∞→n n a n ．（D ）若级数nn a∑∞=1发散，则存在非零常数λ ，使得λna n n =∞→lim ．【答案】（B ）【考点】比较审敛法的极限形式 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：排斥法：取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).方法2：证明(B)正确. lim n n na λ→∞=,即lim 1n n a nλ→∞=.因为11n n∞=∑发散，由比较判别法的极限形式知，1nn a∞=∑发散.（10）设()f x 为连续函数，1()d ()d t tyF t yf x x =⎰⎰,则(2)F '=（ ）（A ）2(2)f （B ）(2)f （C ）(2)f - （D ）0 【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B). 方法2：设()()x f x Φ=111()()[()()]()(1)()t t t tyF t dy f x dx t y dy t t y dy ==Φ-Φ=Φ--Φ⎰⎰⎰⎰()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=- (2)(2)F f '=，选(B).（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ ）（A ）010100101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010． （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010． （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110． 【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010， 100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D). （12）设A ，B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有（ ）（A ） A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关． （B ） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关． （C ） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关． （D ） A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关． 【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由0AB =知，n B r A r <+)()(，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数又,A B 为非零矩阵，必有()0,()0r A r B >>. 可见(),()r A n r B n <<, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法2：由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，而B 为非零矩阵，即0Ax =存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由0AB =知，O A B TT =，于是有T B 的列向量组线性相关，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A = 0AB =⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB =⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪== ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.（13）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数u α满足{}P X u αα>=．若{}P X x α<= ，则x 等于（ ）（A ）2u α． （B ）21α-u． （C ）21αu -． （D ）u 1-α ．【答案】（C ）【考点】标准正态分布；分位数的概念【难易度】★★★ 【详解】解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选（C ）. （14）设随机变量12,,,(1)n X X X n >独立同分布，且其方差为20σ>．令i ni X n Y ∑==11，则（ ） （A ）n Y X 21),(Cov σ=． （B ）21),(Cov σ=Y X ． （C ）212)(σn n Y X D +=+． （D ）211)(σnn Y X D +=-． 【答案】（A ）【考点】随机变量的方差的性质；协方差的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：先计算1(,)Cov X Y ，因为11ni i Y X n ==∑，故1111112111(,)(,)(,)(,)n ni i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑=.1121σnDX n = 三、解答题（本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（15）（本题满分12分） 设2e a b e <<<，证明 )(e 4ln ln 222a b a b ->-． 【考点】拉格朗日中值定理；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：对函数x 2ln 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t tt -='ϕ， 当t e >时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法2： 设x e x x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xx x -=''ϕ, 所以当x e >时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a e ϕ=---, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21ln ()2xx x ϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=。