二、应力张量
定义Ａ截面上Ｏ点的应力矢量为：
* 定义的应力矢量是依赖于ΔＳ的外法线方向的
*σij—第１个脚标表示的是截面元ΔＳ的法线矢量方向，第２个脚标表示 作用在该面元上力的分量方向。
从介质内截取１个微小的四面体，四面体的 三个面分别与三个坐标平面平行，第四个面 是外法线单位矢量n=(cosθ1, cosθ2 ,cosθ3)的 任意平面，该平面上的应力矢量为
体力fΔx1 Δx2 Δx3的作用（ｆ是单位体积质元的体力），质元的运动方程有

三维均匀介质中的波动方程
均匀层和射线理论近似： •速度只是深度的函数，把介质模拟为一系列均匀层，层内拉梅系数梯度为零 •▽λ、▽µ随1/ω变化，高频时，拉梅系数的梯度趋于零

三维均匀介质中的波动方程
由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场ｕ都 可以表达为一个无旋度的矢量场和一个 无散度的矢量场之和，并略去体力
第二章 弹性力学基础与地震波
•弹性力学基础 •波动方程的解
震源所激发的波传播到其他广泛区域的地面震动被地 震仪记录—地震图。这种波或震动涉及小弹性形变，是 弹性力学的研究对象。
地球介质在受到小规模、瞬间力的作用下，如地震、 爆破等，震源区外围介质表现出弹性响应，这也是我们 能记录到地震波、观测到大地震造成的地球自由振荡的 原因。
四、波动方程
弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于 介质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就
是对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。

均匀弹性杆的一维波动方程
忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述 分析截面积为Ｓ的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略 体力的作用。
正交角度的变形—剪应变
分析：
介质中某一点Ａ的正应变与剪应 变的定义还与ＡＢ线的取向有关 在三维空间中，介质中任意一点 的正应变有３个取值，分别记为： e11,e22,e33 介质中任意一点的剪应变有６个 取值，分别 记为： e12,e13,e21,e23,e31,e32 三维空间中，连续介质中任意一点处的应变要用９个单元值 组成的应变张量方能完全描述
设ｘ处质元ｔ时刻的位移为u(x,t)， 运动速度则为（考虑小形变）
ｘ处质元ｔ时刻的加速度为
设均匀杆的密度为ρ，则长度为ｄｘ的小质元的运动方程为
即
一维均匀弹性杆的波动方程
一维均匀弹性杆的波动方程
波动方程的一般解形式为
ｆ可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（D’Alembert）解，即波动 方程的行波解。
四面体处于平衡状态
三、本构方程与广义胡克定律
对线性弹性体，其应力与应变间的本构关系可以用广义Hooke定律表示为：
λ和μ在弹性力学中称为拉枚（Lamé）常数
各向同性弹性介质
* 对大量破坏性地震断层破裂现场调查研究表明，构造应力作用下，地 壳所能承受的最大剪应变不超过10-4，大多数地震是在断层应变达到10-5 ~10-4时发生的破裂。小形变时，地球介质力学性质接近线弹性体，因此 应用线弹性理论研究震源、地震波的传播是合适的。
即有

三维均匀介质中的波动方程
* 三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快 的速度α 传播的无旋波ｕ１，在地球内部传播的这种波通常称为Ｐ波 （Primary wave），因为它首先到达记录台站；
* 另一种是以较慢的速度β传播的无散波ｕ２，经地球内部传播的这种波 通常称为Ｓ波（Secondary wave），因为这种波在地震记录图上通常是 第二个到达的显著地震震相。
*Ｐ波、Ｓ波是地震记录图上最为显著的两个体波震相。由于Ｐ波与Ｓ 波传播速度不同，它们可以由同一震源同时激发，但以不同的速度独立 传播。Ｐ波传播速度大约为Ｓ波的1.73倍，在地震图上Ｐ波比Ｓ波先到 达，比较容易识别。

三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 Ｐ波的传播速度较Ｓ波速度快，地震图上总是先记录到Ｐ波 这两种波的偏振（质点运动）方向相互正交。Ｐ波的偏振方向 与波的传播方向一致；Ｓ波的偏振方向与波的传播方向垂直
对在一年或数年的短时间尺度内变化的作用，地球介 质的力学响应可以用弹性响应来近似。地震波在弹性介 质中的传播过程是满足波动方程。
一、应变与位移的关系
连续介质中相邻的Ａ、Ｂ两点的位移差为
小形变条件下
形变张量
旋转张量
分析： 连续介质中位 移场的空间变 化含介质元的 形变和转动两 部分
受力后线段长度的相对变化—正应变

三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 三分向地震仪记录在通常情况下，Ｐ波的垂直分量相对较强， Ｓ波的水平分量相对较强。Ｓ波的低频成份较Ｐ波丰富。

三维均匀介质中的波动方程
Ｐ波与Ｓ波的主要差异 天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切错动为主，震 源向外辐射的Ｓ波的能量较Ｐ波的强。
Ｐ波通过时，质元无转动运动，但有体积变化，Ｐ波是一 种无旋波。Ｓ波通过时，质元有转动，但无体积变化，Ｓ波 是一种无散的等容波。 用散度算子Δ·同时作用于波动方程式的两边（设在无体力作用区），则 有 体应变以Ｐ波的速度传播
在ｔ２时刻ｘ２处的扰动与ｔ１时刻 ｘ１处的扰动是完全相等的，即扰动 以速度ｃ向正ｘ方向传播了一段距 离Ｘ，由ｘ１传播到了ｘ２。
同样可以证明，波动方程的另一个 一般解表达的也是扰动的传播，只是传播的方向为负中的波动方程
分析如图所示三维介质中的小质元受面力作用情况
用旋度算子Δ×同时作用于波动方程式两边，则有 旋度以Ｓ波的速度传播

三维均匀介质中的波动方程 Ｐ波、Ｓ波势函数表达的波动方程
位移场ｕ的赫姆霍茨势表达式
Φ 、ψ —Ｐ波和Ｓ波的势函数
由势函数求位移场