沿电磁波传播方向相距为
x 2 k
的两点有相位差为2π
kx2
kx1
kx
k
2
k
2
四、波动方程的解
因此，2π/k是电磁波的波长，用λ表示
2
k
k 2
(1.25)
k是2π长度上具有波长的个数，因此，也叫做波数。
Байду номын сангаас
四、波动方程的解
根据前面讲过的内容，(1.24)式必须加上条件
E 0
才能成为波动方程的解，
D E B H
二、介质中的波动方程
然而在交变情况下，当电磁波以一定角频率ω 作正弦振动，并入射到介质内部时，介质内的束缚 电荷受电场力的作用，也以相同的频率作正弦振荡， 在这一个频率下，介质的极化率
e
e ()
P
0E ()
二、介质中的波动方程
而它的电容率ε(ω) 和磁导率μ=μ(ω)满足
D () ()E () B() ()H ()
E E 0 e i(kxωt )
e
E it 0
(i k
x )e
ikx
i e i(kxωt )E 0 (k x )
i E (k x)
四、波动方程的解
(k x) k ( x) (k )x x (k) (x )k
由于k为常矢量
(k x) k ( x) (k )x
i jk x 0
(1.8)
该式表明，在交变情况下，D与E不再是线性关 系，同理
二、介质中的波动方程
B与H之间也不存在简单的线性关系，这是因为
(), ()
(1.9)
ε和μ 都是频率的函数，ε和μ都随频率而变的现
象称为介质的色散，它将导致不同频率的电磁波在 同一介质中的传播速度不同，因而同一介质对不同 频率的电磁波有不同的折射率。
(1.28) (1.28a)
五、电磁波的能量和能流
w 1 (E D B H ) 1 (E 2 1 B2 )
2
2
E 1 v
B
五、电磁波的能量和能流
E2 B2
1
或
E 2 1 B 2
w 1 (E 2 E 2 ) E 2 1 B 2
2
(1.30)
五、电磁波的能量和能流
S E H Ε B
k
(1.13) (1.15)
三、时谐电磁波
类似的，也可以先把Maxwell方程化为
2B k 2B 0
B 0
E i B i B
k
(2)亥姆霍兹方程
2E k 2E 0 2B k 2B 0
(1.16)
三、时谐电磁波
(3)电磁波的模式
2E k 2E 0 的每一个满足 E 0 的解，
（2）E与B互相垂直，E×B沿波矢k的方向
B n E
B垂直与n和E所决定的平面。
E B E (n E ) [(E E )n (E n)E ] E 2n
四、波动方程的解
四、波动方程的解
（3）E和B同相位，振幅比为v
B n E
B E E 1 v
B |
E H
或 H E
H iE
E 0 H 0
(1.11a) (1.11b) (1.11c) (1.11d)
三、时谐电磁波
(1.11）式中的E=E(x)，H=H(x)，与t 无关。 需要说明的是，（1.11）式中的四个方程在ω≠0的 时谐电磁波情况下不是独立的，
( E ) i H
H 0
三、时谐电磁波
E B t
H D t
D 0
B 0
(1.2)
一、电磁场的波动方程
在真空的情况下，
D 0E,B 0H
真空中的麦克斯韦方程组为
E B t
B
0 0
E t
E 0
B 0
一、电磁场的波动方程
第一式两边取旋度得
( E ) ( B) t
(
E
)
2E
t
(0 0
E t
)
2E
二、介质中的波动方程
因此，在介质中的波动方程不能简单的从（1.4） 式进行推广得到
2E
0 0
2E t 2
0 2E
2E t 2
0
2B 0 0
2B t 2
0 2B
2B t 2
0
三、时谐电磁波
以一定频率作正弦振荡的电磁波称为时谐电磁波 （也叫做单色波）
一秒钟内变化的周数叫做频率，记为f ； 变化一次所用的时间叫做周期，用T 表示； 2π 秒内变化的周数叫做角频率，记为ω。
0 0
2E t 2
2E
0 0
2E t 2
0
(1.4a)
一、电磁场的波动方程
2B
0 0
2B t 2
0
c 1 3108 m/s 0 0
2E
1 c2
2E t 2
0
2B
1 c2
2B t 2
0
(1.4b) (1.5)
(1.6)
一、电磁场的波动方程
2E t 2
c 22E
0
二、介质中的波动方程
在稳恒的情况下，如果是线性介质
x y z xyz
四、波动方程的解
k
kx
x
ky
y
kz
z
(k
)x
(k x
x
ky
y
kz
z
)(xi
yj
zk )
kxi ky j kzk k
E ik E 0
k•E=0
四、波动方程的解
可见E 的方向与k 的方向垂直。当振动的方 向与波的传播方向垂直时，这种波叫做横波。由 此可见电场波动是横波。
Ex 0 Ex (x,t) 0
四、波动方程的解
E (x,t) E0 cos(kxt) E0 cos(t kx)
2、相位因子的意义和相速
(1.20)
cos(kx-ωt)
ei(kx t ) 代表波动的相位因子，当t=0时，相位因子为coskx，
x=0的平面处于波峰，在另一时刻，相位因子变为cos(kx-ωt)，
的电磁波有不同的相速度。这就是介质的色散现象。
四、波动方程的解
3、沿任意方向传播的平面电磁波
k=kex kx=k·x
四、波动方程的解
在k·x相同的点上的相位均相同。可见这些点 组成了与x轴垂直的平面。
E (x,t ) E0 ei(kx t )
(1.24)
k k
四、波动方程的解
k叫做波矢量，其量值称为波矢，k 的方向 为波的传播方向。
波峰移到kx-ωt＝0处，即移到的 x t 平面上。
k
四、波动方程的解
相位传播的速度，即相速为
dx
dt k
v 1 k
c 1
0 0
(1.21) (1.22)
四、波动方程的解
v 1 c
rr
(1.23)
其中μr 和εr 分别为介质的相对磁导率和相对电容 率，由于它们都是ω的函数，因此介质中不同频率
三、时谐电磁波
f 1 , f ,T 2 , 2f 2
T 2
T
E(x,t)=E(x)eit ，
B(x,t)=B(x)e i t D E B H
(1.10)
三、时谐电磁波
B iB(x ) eit iH (x ) eit
t
E (x ) eit iH (x ) eit
E iH
都代表了一种可能存在的电磁波的模式（简称为 波模）。
三、时谐电磁波
（4）电磁波的传播速度（相速度）
k
1
, v
v 1
c 1
0 0
四、波动方程的解
1、沿x 轴方向传播的平面电磁波 波阵面（波前或等相位点组成的平面）为与x
轴正交的平面。
d2 dx2
E
(x )
k
2E (x)
0
E (x ) E0 eikx
E可在垂直于k的任意方向上振荡，E的取向 称为电磁波的偏振方向，
四、波动方程的解
B i E
k E [E0e i(kx t ) ]
(e i(kxt ) ) E0 ik E
B i ik E n E
k
式中n为波矢k上的单位矢量。
(1.27)
四、波动方程的解
▽·B＝0
(1.17) (1.18)
四、波动方程的解
E (x,t) E0 ei(kx t) B(x,t) B0 ei(kx t)
由
E 0
得
(1.19)
四、波动方程的解
[E 0 ei(kx t ) ] [E 0 eit eikx ] eit E 0 eikx eit E 0 (i k eikx ex ) ikex E0 ei(kx t ) ikex E (x ,t ) ikEx (x,t) 0
1 2
E
2 0
[1
cos
2(k
x
t )]
由于w和S都随时间迅速变化，因此实际应用时 只需要用到它们的时间平均值。
五、电磁波的能量和能流
w
1 2
E 0 2
1
2
B02
S
1 2
Re
(E
H)
1 2
E
02n
其中 E 为E的复共轭。
(1.33) (1.34)
E ( 1 n E ) E (n E )
[E 2n (n E )E ] E 2n
1 E 2n 1 wn vwn
单位时间内通过单位垂直面积上的能量。
(1.31)
五、电磁波的能量和能流
E (x,t) E0 cos(k x t)
w E 2 E02 cos2 (k x t )