§3.2导数与函数的单调性、极值、最值
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x) >0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) <0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的
步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()
(3)函数的极大值不一定比极小值大．()
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()
(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．() 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)
解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，
则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.
题型一利用导数研究函数的单调性
例
1 已知α，[,]22
βππ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是 A ．αβ>
B ．0αβ+>
C ．αβ<
D ．22αβ>
变式训练
⑴已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是 A ． B ．
C ．
D ．
⑵已知函数384()ln 33
f x x x =
--，则函数()f x 的零点个数为______________． ⑶．已知函数2()ln f x x x x =--的导函数为()f 'x ． ①解不等式()2f 'x <；
②求函数()()4x x g f x =-的单调区间．
题型二 利用导数求函数的极值
例2 设f (x )＝e x
1＋ax 2，其中a 为正实数．
(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；
(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．
例
3如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()
A.89
B.109
C.169
D.289
变式训练
⑴.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是 ( )
⑵.函数y=x 3-3x 2-9x(-2<x<2)有 ( )
A.极大值5，极小值-27
B.极大值5，极小值-11
C.极大值5，无极小值
D.极小值-27，无极大值
⑶.函数f(x)=mln x-cos x 在x=1处取得极值，则m 的值为 (
) A.sin 1 B.-sin 1
C.cos 1
D.-cos 1
⑷.设函数f(x)=xe x ，则 ( )
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
⑸.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为
( )
A. B. C. D.
⑹.已知a∈R，且函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A.a<-1
B.a>-1
C.a<-
D.a>-
⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点
为.
⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于.
1.设函数f(x)=e x(sin x-cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为( )
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为.
3已知函数f(x)＝x ln x ，求函数f(x)的极值点
题型三利用导数求函数的最值
例
3已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
变式训练
1.函数f(x)=x2e x+1，x∈[-2，1]的最大值为( )
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2.
2.函数f(x)=2+，x∈(0，5]的最小值为( )
A.2
B.3
C.
D.2+
3 若函数y=x3+x2+m在[-2，1]上的最大值为，则m等于( )
A.0
B.1
C.2
D.
4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为
( )
A.0≤a<1
B.0<a<1
C.-1<a<1
D.0<a<
5.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)-g(x)的最大值为( )
A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
6.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值为.
7设函数f(x)=x3-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m= .
8.已知函数f(x)=+ln x，求f(x)在上的最大值和最小值.
9.设f(x)=ln x，g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)求a的取值范围，使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.
1.(5分)设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )
A.(1+ln 3)
B.ln 3
C.1+ln 3
D.ln 3-1
2函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有
|f(x1)-f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0。