dU
q2 6nb
dr
r0

N

4
0r02

r0n1


0
q2 6nb 4 0r02 r0n1
1
r0
(
e
)


24 0nb q 2

n1
电荷加倍时
1
1
r0 (
2e
)


240nb
2q2

n1


1 4

n1
r0
j
j
位移平方平均值为
m
2 n

m nj
m*nj
m
2 nj

m nj m*nj'
j
j
j
j j'
mnj取正和取负几率相等，第1项是主要项，忽略2nd项
m
2 n

m
2 nj
j
计算mnj平均值
m
2 nj

1 T0
T0 a 2
0j
sin2
wjt

naq j
dj
dt

a
r06

2
A12 A6

6
U (r0 )
1 N
2
A6 2 A12
Wbcc W fcc

U (r 0)bcc U (r 0) fcc


A6 2 A12


A'62 A'12


12.252
9.11 14.452
12.13
0.957
2.7 利用2-48式，可算出r0，将r0代入可得U
2.6 用林纳德－琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结 构中的结合能之比。
两原子相互作用势能
引入新的参量
相互作用势能 u(r) 4[( )12 ( )6 ]
r
r
—— 勒纳－琼斯（Lennard-Jones）势
晶体总的势能 — N 个原子
U(r)

1 2
N
(4
)[
A12
(
r
)12

红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程 —— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
令
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
——
11w02 w2 2 101w04 20w04 cosaq 0
w2 w02(11 20cos qa 101)
—— 两种色散关系
w2 w02(11 20cos qa 101) —— 两种色散关系
—— 色散关系图
u, v 分别为原胞内两个原子的位移，s 为原胞序号
( 1 )n1
xn n

Rn (
x
)
可知：x=1
2ln( 1 1 ) 2ln2
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对Nacl晶格常数及 结合能的影响（排斥势看作不变）
解：设晶体中含N个原胞（2个原子），系统的内能
U

N

q 2 4 0r

6b
r
n

3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点
引起的位移为，mnj=ajsin(wjt+naqj+dj)，dj为任意相
位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量
为kT，具体计算每个原子的平方平均位移
解：任意一个原子的位移是所有格波引起位移的叠加
mn mnj a j sinw jt naqj d j

w2j
La
2 j
4

kT 2

m
2 nj

a
2 j
2

kT w2j L
m
2 n

j
m
2 nj
kT L
j
1 w2j
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间
力常数交错等于
和
，并且最近邻的间距
1) 求出色散关系和分析计算 2) 大致画出色散关系图
处格波的频率值
绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……


4q2 4 0r0 ( 2e
)
N
1

1 n

n
4n1 U(
e
)
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为
计算
1) 平衡间距r0
2) 结合能W（单个原子的）
3) 体弹性模量
4) 若取
计算
的值
1) 平衡间距r0的计算 晶体内能
平衡条件 2) 单个原子的结合能
r0

(
A6
(
r
)6
]
—— 1/2因子: 相互作用能为两个原子共有
—— A12和A6: 与晶格结构有关的求和项
晶体总的势能
U(r)

1 2
N
(4
)[

A12 ( r
)12

A6
(
r
)6
]
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量
晶格常数
平衡状态体变模量 晶体的结合能
关键：找出结合能与A6和A12的关系式，分别将面 心和体心的值代入
n
1
) nm
m
W

1 (1
m )(
n
m
) nm
2 n m
3) 体弹性模量 晶体的体积 晶体内能
—— A为常数，N为原胞数目
体弹性模量
由平衡条件
m
r0m

n
r0n
体弹性模量
m
r0m

n
r0n
U0

N 2
(

r0m


r0n
)
mn K U0 9V0
4) 若取 m = 2, n = 10, r0 = 3 Å, W = 4 eV
2 j
2
设L是原子链的长度，是质量密度，T0为周期
mnj平方的动能时间平均值为
Knj

1 T0
T0 0
L 0
1 2
dx
dm nj dt
2 dt

w2j 2T0
L
dx
0
T0 a 2 cos2
0j
wjt

naq j

dj
dt


w2j
La
2 j
4
题目告知较高温度下每个格波的能量为kT
(
e
)
q2 6b
U

N

4 0r

rn

1
r0
(
e
)


24 0nb q 2

n1
U ( r0
)
q 2Байду номын сангаас
4 0r0
N 1
1 n
1
r0
(
2e
)


1 4

n1
r0
(
e
)
电荷加倍时，平衡位置变为r0(2e)
U(
2e
)
计算
的值
1.2 10-95 eV m10 9.01019 eV m2
2.5 假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中 性的（q*＝0），求出其电离度。
解：对于Ⅲ族原子的有效电荷为
在A、B原子上电子的几率分别为 l：不同原子波函数组合成分 子轨道波函数时的权重因子
根据卡尔森（Coulson）定义的电离度，Ⅲ-Ⅴ族 化合物（q*＝0）的电离度为
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为
证： 马德隆常数
对于一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子 数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子
—— 一维一价离子
当
ln( 1 x ) ln1 ln( n )( 1 x )xn
n1
n!

x

x2 2

x3 3