高等数学I 教案
如果恒有
()()222121x f x f x x f +>
⎪⎭⎫
⎝⎛+，
（a ） （b ） 图2
那么称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（凸弧）。

从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数
)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸
性与)(x f ''的符号有关。

3、曲线凹凸性的判定
定理1 若)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在()b a ,内0)(>''x f ，那么)(x f 在[]b a ,上的图形是凹的； (2)若在()b a ,内0)(<''x f ，那么)(x f 在[]b a ,上的图形是凸的。

例1.判定曲线x y ln =的凹凸性. 解 函数的定义域),0(+∞，而x y 1=',21
x
y -='', 因此曲线x y ln =在),0(+∞内是凸的. 例2.讨论曲线3
x y =的凹凸区间.
解 函数的定义域为),(+∞-∞，2
3x y ='，x y 6=''。

显然，当0>x 时，0<''y ；当0<x 时，0>''y .因此)0,(-∞为曲线的凸区间，),0(+∞为曲线的凹区间。

4、拐点的定义
定义2 连续曲线)(x f 上的凹弧和凸弧的分界点成为这条曲线的拐点。