12、在多项式环Z[x]中，证明：
（1）（3，x）= {3a0＋a1x＋…＋anxn|ai∈Z}.
（2）Z[x]/(3，x)含3个元素.
13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|xG,xH=Hx},证明NG(H)是G的子群．
14、在整数环Z中,a,bZ,证明(a,b)是Z的极大理想的充要条件是a,b的最大公因数是一个素数。
105、设H，K 则对任意a, b G,则Ha Kb= 或Ha Kb是H K的一个右陪集，该结果能否推广
106.方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.
107.设
证明 关于矩阵的乘法构成群.
108.设 是群. 证明: 如果对任意的 , 有 , 则 是交换群.
109. 证明: 在群 中, 如果 , 则 .
40、设Z是整数环,x是Z上的未定元,证明Z[x]的生成理想。
(3,x)={ },并且剩余类环 ={[0]，[1]，[2]}。
41、证明(5,x)不是Z[x]的主理想。
42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 。
43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。
44、设 是有理数域上的二阶方阵环，证明 只有零理想和单位理想，但 不是一个除环。
34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域 p为质数(素数)。
35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不是主理想。
36、证明群G为交换群 为G到G的一个同构映射。
37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。
38、证明阶是素数的群一定是循环群。
39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bi ,b Z,i =-1}中，3是一个素元。
45、设G是群，f：G→G，a a2,( )证明f是群G的自同态 G是交换群。
46、设G=｛（a, b）|a,b |R, ｝，在G上定义“ ”：(a,b) 证明（G， ）构成一个群。
47、设G是有限交换群，f：G G,f(g)=gk( g G)证明f Aut(G) (k,|G|)=1。
48、设G是100阶的有限交换群，f: G G, f(g)=g49( g G),证明f Aut(G)。
是A的一个左理想。
24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。
25、证明循环群的子群也是循环群。
26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。
27、I是一个整环，a,b I,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是
a与b相伴。
28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。
96、证明：Z[x]不是主理想整环。
97、设R为交换环，R2=R,则R的每个极大理想都是素理想。
98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x2+1 R[x]证明： ，C为复数域。
99、设R是一个主理想整环，p, q R都是素元，且p与q不相伴，
证明(p, q)=R。
100、设S是环R的子环，I是R的理想，且I S，证明：
64、设 是一个n次置换，集合X=｛1, 2, 3, …,n｝，在X中，规定关系“~”为k~l ,使 r(k)=l.证明：“~”是X上的一个等价关系。
65、设K=｛(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)｝证明：K S4。
66、设G是群，H G,规定关系“~”
a ~ b 证明：~是G的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。
为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作 . 证明:
(1) 是 的正规子群;
(2) 商群 是交换群;
(3) 若 , 且 为交换群, 则 是 的子群.
注: 是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.
132. 设 与 为群, 为 到 的同态映射. . 证明: 当且仅当对任意的 , 有 .
81、设 证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。
82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。
83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R
84、设R是交换环，X是R的非空子集，令 证明：Ann(X)是R的理想。
85、设R是环，I， J是R的两个理想，令 ，证明：[I:J]是R的理想。
19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。
20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，
且 除单位元之外不含有限阶元素。
21、设 证明(R,+,)是整环（+,是数的加法与乘法）．
22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob= 证明（Ｇ，o）是群．
23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明
91、在整环 中,证明 是素元。
92、设f: 为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态是指g: , ）。
93、设 是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且 的素理想。
94、设f: 是环的满同态，Q是S的素理想，证明： 是R的素理想。
95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b D如果am=bm, an=bn求证a=b。
49、设A G,B G如果存在a, b G,使得Aa=Bb,则A=B。
50、设G是交换群，m是固定的整数，令H=｛a|a G, am=e｝，证明H G。
51、设H G,令CG(H)=｛g|g G, h H,gh=hg｝，证明CG(H) G。
52、设G是非空有限集合，“ ”是G的一个二元运算，“ ”适合结合律及左、右消去律，证明：(G, )构成一个群，当G是无限集时呢
29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程 的解，证明G是一个交换群。
30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明 也是一个循环群.
31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。
32、设I是一个主理想环,a,b I,d是a是与b的一个最大公因子,证明(a,b)=(d)。
33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。
67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。
68、设H G,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H G。
69、设N G, [G:N]=2004,证明：对 ,恒有 。
70、设N G, [G:N]=4,证明：存在M G,且[G:M]=2。
71、设H，N G, 证明：|ab|=6。
72、设H G,证明：H G 如果由 。
（1）NG（H）≤G（2）CG（H）△NG（H）
9、证明数域F= {a＋b |a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.
10、设R是主理想环，I= （a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：εa是R的一个素元.
11、设G与 是两个群，G~ ，K=Kerf， ≤ ，令H= {x|x∈G，f(x)∈ }，证明：H≤G且H/K≌ .
126.证明:
127.设 是群, 证明: 的中心
是 的正规子群.
128. 设 是群, , , 证明: .
129. 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明:
(1) 是 的正规子群;
(2) 是 的子群.
130. 设 为 的中心. 证明: 如果 是循环群, 则 是交换群.
131. 设 为群, 对任意的 , 称
61、设H是群G的非空子集,且H中元的阶都有限，证明：
H G 。
62、设N G, |G/N|=10,g G, |g|=12,证明:g2 N。
63、设G是群，a, b G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, <a>∩<b>=｛e｝.证明：|ab|=[m, n]([m, n]是m, n的最小公倍数)。
73、设k|m,证明: 。
74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得 ,证明：整数加群Z没有极小子群。
75、如果 是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。
76、证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。
77、证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。
57、设G是奇阶群，则对任意g G,存在唯一元x G,使g=x2。
58、证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。
59、设H G, g是G的一个固定元素，gHg-1=｛ghg-1|h H｝
（1）证明:gHg-1 G。
（2）证明:H 。
60、设G= ，G对复数的加法构成群，H对矩阵的加法也构成群，证明：G H。
53、设G是2000阶的交换群，H G,|H|=200，证明： 是一个循环群。
54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z
55、设G是一个循环群，|G| 3,4,G的生成元的个数为2，证明G Z。
56、设G是有限群，H G, a G,证明存在最小正整数m,使am H,且m| 。
15、设R= ,I= ．
(1)验证R对矩阵的加法和乘法构成环。
(2)证明I是R的一个理想。
16、设G是群，令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。
17、在整数环Z中,p,q是不同的素数,证明(p) (q)=(pq), (p,q)=Z。
18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。
115.设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体
是 的子群.
116.设 . 证明: 是 的子群.
117.设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令
, .
证明: 与 都是 的子群.
118. 设 为群. . 证明: 与 有相同的阶.
119. 设 为群. . 证明:
(1) 与 有相同的阶.