第5节古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4.古典概型的概率公式P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[常用结论与微点提醒]1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个.故所求概率为P ＝436＝19.答案 B3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825D.925解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25＝410＝25. 答案 B4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则口袋中原有小球的个数为( )A.5B.6C.10D.11解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n 个，依题意n ＋12n ＋1－n 2n ＝122，解得n ＝5.所以原来口袋中小球共有2n ＝10个.答案 C5.在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________.解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.答案 15考点一 简单的古典概型的概率【例1】 (1)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79(2)(2018·沈阳模拟)将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A.12B.14C.16D.18 解析 (1)由题意得，所求概率P ＝5×4×29×8＝59. (2)A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14.答案 (1)C (2)B规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .2.(1)用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.(2)利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.【训练1】 (1)(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A.13B.12C.23D.56(2)(2018·昆明诊断)从集合A ＝{－2，－1，2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1，3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 23＝3种，故所求的概率为P ＝36＝12.(2)(a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2，1)，(－2，3)，(－1，－1)，(－1，1)，(－1，3)，(2，－1)，(2，1)，(2，3)，共9种.由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2，1)，(2，3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29.答案 (1)B (2)A考点二 复杂的古典概型的概率(典例迁移)【例2】 (经典母题)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15. 由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.【迁移探究1】 求A 中学至多有1人入选代表队的概率.解 设“A 中学至多有1人入选代表队”为事件A ，“A 中学无人入选代表队”为事件B ，“A 中学有1人入选代表队”为事件C ，则P (B )＝C 33C 34C 36C 36＝1100，P (C )＝C 13C 23C 34＋C 12C 24C 33C 36·C 36＝325， 由互斥事件的概率加法公式得P (A )＝P (B )＋P (C )＝1100＋325＝13100，故所求事件的概率为13100.【迁移探究2】 求B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率.解 设“B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数”为事件A ，则P (A )＝C 34·C 23·C 02C 13＋C 34C 13C 02C 23＋C 34C 03C 02C 33＋C 24C 13·C 12C 23＋C 24C 03C 12C 33＋C 14C 03·C 22C 33C 36·C 36＝12，即B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率为12.规律方法 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.2.注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【训练2】 (1)(2018·亳州模拟)已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18(2)(2018·兰州模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点.在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG→＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________.解析 (1)设A (a ，b )，则直线OA 的方程为y ＝b a x ，由⎩⎨⎧y ＝x 2＋1，y ＝b a x 得x 2－b a x ＋1＝0，由题意得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4≥0，即b ≥2a 或b ≤－2a ，由于点A 的坐标可能取到的所有情况有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中满足b ≥2a 或b ≤－2a 的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4种，故所求的概率为P ＝416＝14.(2)易知基本事件的总数是4×4＝16，在OG→＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP→＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.答案 (1)C (2)34考点三 古典概型与统计知识的交汇问题【例3】 (2018·黄冈质检)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64(人)，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.解 (1)由题意知14n ＝0.07，解得n ＝200，∴14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率P ＝818＝49.规律方法 求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼需要的信息.(2)进行统计与古典概型概率的正确计算.【训练3】 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为________kg ；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.解析 由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10100＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内选取的人数分别为12×3060＝6，12×2060＝4，12×1060＝2，则两人体重不在同一组内的概率为C 16C 16＋C 14C 18＋C 12C 110A 212＝23. 答案 64.5 23基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P ＝26＝13.答案 C2.(2018·淮南一模)从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数有10种不同的情况，而这2个数的和为偶数，则2个数全为偶数，或2个数全为奇数，共有1＋C 23＝4(种)不同情况，由古典概型概率公式得所求概率P ＝410＝25.答案 B3.(2018·张家口期末)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16解析 先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.答案 A4.(2018·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析 选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所以，所求概率为P ＝824＝13.答案 C5.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，共有C 25＝10条线段，满足该两点间的距离小于1的有AO ，BO ，CO ，DO 共4条线段，则根据古典概型的概率公式可知随机(等可能)取两点，则该两点间的距离小于1的概率P ＝410＝25.答案 B二、填空题6.(2018·武汉模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析 小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12(种)，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.答案 1127.某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________.解析 男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－C 34C 36＝45. 答案 458.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16. 答案 16三、解答题9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝4 15.故这2件商品来自相同地区的概率为4 15.10.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C2n，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝17，则n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P (A )＝C 14×C 13C 17×C 16＝4×37×6＝27.(3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2018·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115B.15C.14D.12解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种. 故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.答案 B12.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________.解析 根据题意，每个矩形只涂一种颜色的涂色方案共有23＝8种，要使3个矩形中相邻矩形颜色不同，则位于两端的两个矩形必须颜色相同，从而有C 12＝2种，故满足题意的概率P＝223＝14.答案1 413.(2018·济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C23＝3(种)，则至少有一名男生有C25－C23＝7(种).故至少有一名男生的概率为P＝7 10，即选取的2人中至少有一名男生的概率为7 10.。