平面上两直线的夹角求法解析
一、内容概述
在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：
，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查．
二、基本概念
①平面上直线方程的两种常用表示：
直线的点斜式方程：；
直线的一般式方程：不全为．
②平面上两条相交直线夹角的概念：
平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角．
③平面上两条直线所成角的范围：
如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为；
如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；
如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为．
④平面上直线的方向向量：
基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量；
直线点斜式方程的一个方向向量为．
⑤平面上直线的法向量：
基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量；
直线的一般式方程不全为的一个法向量为．
三、理论推导
1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．
假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．
假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角.
证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．
假设为直线，所成的角，显然（左图）或（右图），由方向向量夹角的余弦得：
又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得：
即，平面上直线与直线的夹角．
注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量．但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别：
两直线夹角的范围是，即的三角函数值一定是非负的．
四、例题解析
对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题．下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的．
例1已知直线，的斜率是二次方程的根，试求直线与的夹角．解析：设直线，的斜率分别为，，解二次方程得，
，
将代入公式得，．
所以直线与的夹角．
点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法．
例2 求直线与直线的夹角．
解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法．直线一法向量；直线一法向量．
将代入公式得，
．
所以直线与的夹角．
点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解．
例3 光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线线所在直线的方程．
解析：联立得反射点的坐标为，由题意知直线过该点，则
设的方程为（其中为直线的法向量，不同时为零）．由物理学中的反射原理可知：直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即：
，解得或(舍去，否则与重合)．
所以，直线的方程为．
点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法——先设出所求直线的方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解．
五、沉思提高
已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线方程．。