习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
(3)42
4
lim 22-=+--→x x x ;
(4)21
241lim
3
2
1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1
|3|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ31
=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .
(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5
1
|2|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ5
1
=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .
(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2
4
2x x , 只须ε<--|)2(|x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(2
42x x , 所以424
lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21
(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使
ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21
(|0x 时, 有
ε<-+-212413x x , 所以21241lim 32
1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2
121lim
3
3=+∞
→x x x ; (2)0sin lim
=+∞
→x
x
x .
证明 (1)分析
3
3
333
3||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使
ε<-
+21213
3x x , 只须ε<3|
|21
x , 即3
21
||ε
>
x .
证明 因为∀ε >0, ∃3
21
ε
=
X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x .
(2)分析 x
x
x x
x 1|sin |0sin ≤=
-, 要使
ε<-0sin x x
, 只须
ε<x
1, 即2
1
ε
>
x .
证明 因为∀ε>0, ∃2
1
ε=
X , 当x >X 时, 有
ε<-0sin x
x
, 所以0sin lim
=+∞→x x
x .
3. 当x →2时, y =x 2→
4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？
解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要
0002.05
001
.0|2|=<
-x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13
12
2→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?
解 要使
01.03
413
1222<+=
-+-x x x , 只397301
.04
||=->
x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.
6. 求,)(x x x f = x
x x |
|)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.
证明 因为
11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x
x f ,
11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x
x f ,
)(lim )(lim 0
x f x f x x +→→=-,
所以极限)(lim 0
x f x →存在.
因为
1lim ||lim )(lim 00
-=-==--
-→→→x x
x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00
===++
+→→→x
x
x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0
x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0
x x ϕ→不存在.
7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞
→)(lim .
证明 因为A x f x =-∞
→)(lim , A x f x =+∞
→)(lim , 所以∀ε>0,
∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .
取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有
|f (x )-A |<ε .
因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有
|f (x )-A |<ε .
这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .
取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有
| f (x )-A |<ε ,
即f (x )→A (x →x 0).
9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .
证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.
这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。