平面向量题型1.基本概念判断正误:例2uuu uuu unr(1 )化简：① AB BC CDuuu uur uuir uur uuir uuu uur:② AB AD DC③(AB CD)(AC BD)uuu r uuur r uuur r r r rAB a, BC b, AC c，则|a b c|匚=.uuu uur uuu uuur uu且满足OB OC OB OC2OA则VABC的形状为(2)若正方形ABCD的边长为1,(3)若0是VABC所在平面内一点,()9 .与向量a =(12, 5) 平行的单位向量为12A. -131213 13 13C.空132或1312 1213 13 13A或131213,13unr①FDuurDAuurAF0uuu②FDunrDEunrEF0unr unr unrunr unr uujr③DE DA BE④AD BE AFuuu uuu uuu11.设P是厶ABC所在平面内的一点，BC BA2BPuuu A.PAuuuPBr0 B.uurPC uur PAr0 C.uuuPBuuuPCABC边ABBC CA上的则(12.已知点•设0 D.10 .如图，D E、F分别是中点，则下列等式中成立的有uur uuu uurPA PB PCA.2A( 3,1)，B.13.设向量则向量d为()A.(2,6)B.(B(0,0)，C( ..3,0) BAC的平分线uuuAE与BC相交于E，那么有BCuuuCE，其中等于C.-3D.2a=(1, —3), b=( —2,4), c=( —1, —2)，若表示向量34a,4b —2c,2( a—c), d的有向线段首尾相接能构成四边形,—2,6) C.(2, —6)uurADD.( uuuxAB—2, —6)uuuyAC，贝U x _14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若图2uur15、已知O是厶ABC所在平面内一点・D为BC边中点.且2OAuur uur uur uurA. AO ODB. AO 2ODuuurOBC.UUITAOuiur rOC 0.那么(uuur3OD)unr D.2AOuuur0D题型3平面向量基本定理2.设平面向量a 3,5 ,b 2,1，则a 2b ()(A) 7,3(B) 7,7(C)1,7(D)1,uuuuuuuuur3.若向量AB (1,2), BC (3,4) ，则 ACA. (4,6)B.(4, 6)C.(2, 2)D.(2,2)平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数i、 2，使a = 1e i + 2 e 2。

uuu UUD uinr性质：向量PA 、PB 、PC 中三终点A 、B 、C 共线 存在实数 例 3 r r r (1) _________________________________________ 若 a (1,1)b (1, 1),c (1,2)，则 c __________________________ (2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是ir ui ur n ur u A. $ (0,0), e 2 (1,2)B $ ( 1,2),e 2 (5,7) C. e, (3,5), e 2uiur uuu urnr (3) 已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD uu u uu u umu 使得PAPB PC 且u uu 1 3 (6,10) D. e 1 (2, 3),e 2 (；,-) 2 4 r uuu r uuu r ra,BE b ,则BC 可用向量a,b 表示为(4)已知 ABC 中，点D 在BC 边上，且CD 2 DB , CD r AB sAC ，贝U r s 的值是 (5)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3),若点C 满足OC 1 OA 2 OB ,其中 1 , 2 A. e, (0,0), e 2 (1, 2) B. e 1 (1,2),e 2 (5,7)ur ur ur u1 3 C. e (3,5),e2 (6,10) D. e 1(2, 3),62 (2, 4)uuu uuu uuu uuir uur2. (2011 全国一 5)在△ABC 中， AB c , AC b •若点D 满足BD 2DC ，则AD =(且1 2 1 ,则点C 的轨迹是________ 练习1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 )2, 1 5 2, 2, 1 A . — b c B . — c b C. — b -c 3 3 3 3 3 3 D 是厶ABC 的边AB 上的中点，则向量3 •如图所示, D.CD!BA2 1 - C. BC BA 2 题型4向量的坐标运算 例4 已知点 A(2,3), B(5,4), A . BC 1 - -BA 21 -.BC - BA2BC (1) 上 uurr uurr C(7,10)，若 AP AB uuur AC(R)，则当 .时，点P 在第一、三象限的角平分线(2) (3) (4) - 1 uuur已知 A(2,3), B(1,4),且 AB (sin x,cos y), 2uu urr A(1,1)的三个力 F (3,4), F 2 (2,uuu3AB ,已知作用在点 设 A(2,3), B( uuur 1 uuu uuur 1,5)，且 AC —AB , AD3练习 uuu1.已知 AB (4,5) ,A(2,3)，则点B 的坐标是 x, y (—,-)，贝U x y __________ iH 2 ur ur uu uu 5), F 3 (3,1)，则合力F F 1 F 2 F 3的终点坐标是则C 、D 的坐标分别是题型5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a ? b，即a ?b = a b cos 。

规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

r r平面向量数量积坐标表示：a?b x1x2y,y2a ?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|ai与b在a上的投影的积。

向量数量积的性质：设两个非零向量a, b，其夹角为，则: r r r r① a b a?b 0；- . .”rr r 2 r r r 2 r [TT --②当a , b同向时，a ? b = a b，特别地，a a?a a , a V a ;当a与b反向时, 为锐角时，a ? b >0,且a、b不同向，a b 0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时, 反向，a b 0是为钝角的必要非充分条件；- - r r r r(3) (a b)2, (4) (2a b) (a 3b)。

r r r2.已知a (2, 6),b ( 8,10)，求(1) |<a|,|b |, (2) a b ,3.已知向量a = (1, —1), b = (2,x).(A) —1 (B) —1(C) 1(D)12 25. △ ABC中, AB 2, BC 3, B 60 ,则AB?BC _________________r r r r r r r6、设a、b、c是单位向量.且a • b = 0则a c ? b c的最小值为()(A) 2 (B) 迈2 (C) 1 (D) 1 R7、设ABC 的三个内角A, B,C .向量m ( 3sin A,sin B) . n (cos B, 3 cos A) a ? b =- a b ；当一 - r ra ?b v 0，且a、b 不⑴(2)(3)(4) △ ABC中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，贝U AB BC _______1 r 1 r r r u r已知a (h/b (0, ),c a kb,d a已知a| 2,b 5,agb 3，则a b等于r r r r r已知a,b是两个非零向量，且abab , c与d的夹角为—，贝U k等于4____ ;b，则a与a b的夹角为______(5) 已知向量a =( sinx , cosx ) , b =( sinx , sinx ) , c =(—1, 0)。

( 1)若x = 一，求向量a、3 c的夹角；（2）3若X € [ ,]，函数f (x)8 4 a b的最大值为1,2 的值（6）下列命题中：① a （b c） a b a c :② a (b c) (a b) c ；③(a b)2 22|a||b| |b| :④ 若a b ⑤若a b c b,则a |a|2⑥a2T2a •，:⑧r r 2 r2 r^ r r 2「2 (a b) a b :⑨(a b) a 练习r r r22a b b。

其中正确的是1.已知|a| 3,|b| 4，且a与b 的夹角为60o，求（1）a b , (2) a (a b), 4已知向量a与b的夹角为120o，且 a b4，那么a ?b的值为若mgi 1 cos(A B).则C =( )A. _B C. 2 D. 56336题型6求向量的夹角r r—b- —ft的计算公式：a?b r r r r非零向量a , b夹角cos r r ；|a?b| |a||b|a b例6(1)已知a ( ,2 ) , b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是 ______1 ^3(2)已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若一S —，则OF , FQ夹角的取值范围是2 2r r r r r r _ r r r(3)已知a (cosx,si nx),b (cosy,si ny), a与b之间有关系式ka b J3 a kb,其中k 0 ,①用k表示aa b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小练习r r r1. 已知〔a I 8,1 b I 3 , a b 12，求a与b的夹角。

r r2. 已知a ('、3,1),b ( 2.3,2)，求a与b 的夹角。

r r5.已知a (m,3) , b (2, 1) , (1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围;(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。

6 .若a,b是非零向量且满足r(ar r r r r2b) a , (b 2a) b ，则a与b的夹角是( )25A. — B . — C . D .6 336题型7.求向量的模r _____ r r向量的模：|a| x2y2, a |a|2x2y2。

I 2 2两点间的距离：若A x-!, y-! , B x2, y2，则| AB | x2为y2 y1。