RL 电路的过渡过程摘 要：一个电路从原来的稳定状态向新的稳定状态变化需要经过另一个时间过程，这就是电路的过渡过程。

电路的过渡过程虽然往往很短暂，但它的作用和影响很重要。

本文将用数学分析方法对RC 及RL 一阶线性电路进行全面分析，目的就在于认识和掌握有关的规律，利用过渡过程特性的有利的一面，对其有害的一面进行预防或抑制。

关键词：过度过程，放电过程，充电过程，零状态，非零状态I ．RC 电路的过渡过程1．1 RC 电路的放电过程设开关原在位置2，电路达到稳态后，电容电压等于U,在0t =时开关突然倒向位置1,则在0t ≥时，按照基尔霍夫电压定律列出电路方程0C iR u +=因为 Cdu i C dt= 故得 0CC du RCu dt+= （1） 这是一个一阶、线性、常系数、齐次微分方程，其通解为ptC u Ae =将上式代入式（1），消去公因子,ptAe 则得到该微分方程的特征方程10RCP +=该特征方程根（特征根）为1p RC=-因此，式（1）的通解为t RCC u Ae-=其中A 为待定的积分常数，由初始条件确定。

根据换路定律，换路瞬间电容上的电压不能突变，即在0t +=时，C u =U ，故有A =U 。

于是微分方程（1）的解为t t RCC u UeUe τ--== （2）将电容电压C u 随时间的变化曲线画在图（2）（a ）中，这是一个指数曲线，其初始值为U ，衰减的终了值为零。

式（2）中τ=RC ，称为RC 电路的时间常数，它决定了电压C u 衰减的快慢。

τ的单位图（1）RC 电路[][]RC τ⋅==⋅⋅⋅库仑安秒欧法拉=欧=欧=秒伏伏即τ代表时间，其单位为秒。

当t =τ时8.36718.21===-UUu e c ℅U 可见时间常数τ等于电压C u 衰减到初始值U 的36.8%所需的时间。

可以证明，指数曲线上任一点的次切距的长度ab 都等于τ，见图（2）（b ），图中在0t t =点曲线的变化率00()t C C t t du u t Uedtτττ-==-=-它就是曲线在c 点的切线的斜率。

在直角三角形abc 中0()C ac u t =0()C C t t du u t tg dtθτ==故00()()C C u t ac ab u t tg τθτ=== 这就意味着，如果在0t t =点，按曲线在该点的切线cb 的斜率衰减，经τ秒后电容上的电压C u 就会衰减到零。

[1]下表列出RC 电路放电时，电容电压C u 随时间的变化情况tτ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τC uU 0.368U0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U从表中可见，当3t τ=时，C u 衰减到初始值的5%，当5t τ=时，C u 已衰减到初始值的1%以下。

所以一般认为(3~5)t =τ时，电路已经达到稳定状态。

虽然从理论上讲，当t =∞时电路才到达稳定。

RC 电路放电过程中电容的放电电流和电阻的电压如下面的式子所示t tC RCdu U U i C e e dt R Rτ--==-=-ttRCR u iR UeUeτ--==-=-（a ） （b ）图（2）RC 放电电路中电容电压uc 随时间的变化曲线。

上面式中的负号表示放电电流和电阻电压的实际方向与图（1）中的参考方向相反。

在图（3）中画出了,C R u u 和i 随时间的变化曲线，从中可以清楚地看出三者之间的关系，从能量关系上讲，RC 电路的放电过程实际上是电容C 的电场能量转换为电阻上的热能的过程。

到达稳态后，电容上的电场能量全部转化为电阻上的热能。

这个关系可证明如下：电容原来储存的电场能量为 212C u CU =在整个放电过程中，电阻上消耗的热能为c t RCtRC R CU e RU RC dt e RU Rdt i ωω==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===∞--∞∞⎰⎰20222202212放电过程的快慢以时间常数RC τ=为标志，C 越大，表示储存的电场能量越大；R 越大，表示放电电流越小，这都使放电变慢。

所以，改变电路中R 或C 的数值，就可改变电路的时间常数，从而改变电容放电的快慢。

[2]1．2 RC 电路的充电过程图（1）中，当开关K 合向位置2时，RC 串联电路即与直流电源U 接通，电源通过电阻R 向电容C 充电。

这实际上就是图（4）的电路。

下面讨论RC 充电电路的过渡过程。

选0t =时换路，则0t ≥时电路的微分方程为CC C du U iR u RCu dt =+=+ （3） 式中 C dui C dt=式（3）是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的通解由它的一个特解C u '及对应的齐次微分方程的通解C u ''组成。

特解C u '与方程中的已知函数U （即电源电压）有相同的形式，设,C u K '=代入式（3）得dKU RCK dt=+ 故 K U =因而得到方程的特解 C u U '=实际上它就是微分方程中待求函数C u 的稳态值。

因为稳态就是过渡过程在t =∞时的情况，所以稳态解必图（3）,C R u u 和i 随时间的变化曲线图（4） RC 充电电路定是该微分方程的一个特解。

参看图（4），稳态时电容相当于断路，根据基尔霍夫电压定律，电容上的稳态电压等于电源电压U 。

式（3）对应的齐次微分方程就是式（1），其通解记为C u ''，则有 tRCC u Ae -''=因此微分方程（3）的通解为t RCC C C u u u U Ae-'''=+=+ （4）下一步是根据初始条件定积分常数A 。

下面分两种情况来讨论。

[3]1．2．1 零状态若换路瞬间0t -=时电路中的所有储能元件均没有储存能量，即电路中电容电压和电感电流均为零（初始条件为零），则称电路为零状态。

在RC 电路充电过程中，零状态就是(0)0C u -=。

按照换路定律，有 (0)(0)0C C u u +-== 将它代入通解式（4）中，得(0)0RCC u U Ae U A -+=+=+=故 A U =- 最后得到微分方程（3）的解为11t t t RCRC C u U UeU e U e τ---⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5） 在图（5）中画出了电容的充电电压C u 随时间的变化曲线，其中C u '是恒定的，C u ''按指数规律衰减至零，C u 则按指数规律增长而最终趋于稳态值。

当t τ=时11(1)163.2%2.718C u U e U -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭U电容充电的过渡过程中电容上的电压C u 由两个分量组成，如式（5）所示，其中C u '为稳态分量，即到达稳定状态时的电压，它相当于微分方程的特解，与输入函数（电源电压）有相同的形式，故又称强制分量；C u ''为暂态分量，它只在过渡过程中存在，随时间按指数规律衰减，最终衰减到零。

暂态分量的衰减规律只与R 和C 有关，而与电源无关，但它的大小则与电源电压有关。

暂态分量相当于对应的齐次微分方程的通解，有时又称为自由分量。

[4]图（5） RC 充电电路中C u 随时间的变化曲线RC 充电过程中的电流按下式求出tC du U i C e dt Rτ-== 电阻上的电压为tR U iR Ueτ-==将,C R u u 和i 随时间的变化曲线画在一起，如图（6）所示。

1．2．2 非零状态若在换路瞬间0t -=时，电路中的储能元件已储有能量，即已有电容电压或电感电流（初始条件不为零），则称电路处于非零状态。

在RC 电路充电过程中，非零状态就是(0)C u -有非零值，设0(0)C u U -=，按照换路定律，有0(0)(0)C C u u U +-== 将它代入通解式（4）中，得 00(0)RCC u U AeU A U -+=+=+=故 0A U U =- 微分方程的解为00()()t tRCC u U U U eU U U e τ--=+-=+- （6）它也是由稳态分量和暂态分量组合而成。

图（7）画出了C u 随时间变化的曲线。

当0U U <时，C u 由初始值0U 逐渐增加到稳态值U ，这是一个充电过程，如图（7）（a ）所示；当0U U >时， C u 由初始值0U 逐渐衰减到稳态值，这是一个放电过程，如图（7）（b ）所示。

电路的电流0tC du U U i C e dt Rτ--== 可见，0U U <时i 为正，0U U >时i 为负，即两种情况下电路中电流的方向相反，它们分别为充电电流和放电电流。

电阻上的电压图（6）,C R u u 和i 随时间的变化曲线0()a u u <时 0()b u u >时图（7）C u 随时间的变化曲线0()tR u iR U U eτ-==-讨论了RC 串联电路的过渡过程后，可以归纳出解线性电路过渡过程的一般步骤：[5]（1）列出换路后的电路的微分方程；（2）求微分方程的特解，即稳态分量；（3）求对应的齐次微分方程的通解，即暂态分量；（4）按换路定律确定过渡过程的初始值，定出积分常数。

例1： 如图（4）所示RC 电路中，100,50,0.2,U V R C F μ==Ω=电容原无储能。

在0t =时合开关K ，求：（1）电路的时间常数，（2）电容上的电压C u 和电流i ，（3）最大充电电流，（4）开关合上后20s μ时的C u 和i ，（5）电容电压充到95V 所需时间。

解：（1）该RC 电路的时间常数66500.210101010RC s s τμ--==⨯⨯=⨯=（2）电容上的电压5101100(1)tt C u U e e V τ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭电路电流551010100250t t t U i e e e A R τ---=== （3）开关K 刚合上时，即0t +=时，电容电压C u （0+）=C u （0-）=0，这时电源电压全部降落在电阻R 上，电路的电流100(0)250U i A R +=== 为最大充电电流，此后该电流按时间常数τ逐渐衰落到零。

（4）合上开关后20s μ时，即6202010t s s μ-==⨯时561020102100(1)100(1)86.5C u e e V --⨯⨯-=⨯-=⨯-=220.27i e A -==（5）设1t t =时C u =95V ，即 95)1(100)1()(151101=-⨯=-=--t t C e e U t U τ故 51109510.05100t t e-=-= s s n t μ301031005.01551=⨯=-=- 即电容电压充到95V 所需时间为30s μ。