2. 1.1 椭圆的标准方程
1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ ．
2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
3．椭圆的定义： ---------------------------------------------------------------点叫做椭圆的 ------------- ，两焦点的距离叫做 ---------------- 。
们的斜率之积为
4 9 ，求点 M 的轨迹方程．
分析：若设点 M x, y ，则直线 AM ， BM 的斜率就可以用含 x, y 的
式子表示，由于直线 AM ， BM 的斜率之积是
4 9 ，因此，可以求出 x, y 之
间的关系式，即得到点 M 的轨迹方程．
三、反思总结
1. 椭圆方程得标准形式为： 2. 求动点轨迹方程的步骤是什么？
x2 y2 得： a 2 b2 1 a b 0
3.例题
例 Hale Waihona Puke 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 方程．
53
2,0 ， 2,0 ，并且经过点
, 2 2 ，求它的标准
5, 3 设椭圆的标准方程为 ----- --------------- ，因点 2 2 在椭圆上，
代入化简可得标准方程。
例 2 如图，在圆 x2 y 2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ， D 为垂
5、若关于 x、y 的方程 x2sin α-y2cos α=1 所表示的曲线是椭圆， 则方程 (x+cos α )2+(y+sin
α)2=1 所表 示的圆的圆心在（ ）
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
6、已知椭圆的焦点是 F1（ -1 ， 0），F2（ 1，0），点 P 为椭圆上一点，且 |F1F2| 是 |PF1| 与
轨迹叫做椭圆 .这两个定
4. 椭圆标准方程的推导： ①建系；以 ----------- 为 轴， ----------- 为 轴，建立直角坐标系，则
的坐标分别为：
-------------------②写出点集；设 P（ ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：
------------------------------
则|AF1|+|BF1| 的值为（ ）
A 、 11
B 、 10
的两焦点， 过点 F2 的直线交椭圆于点 A、B，若 |AB|=5 ，
C、9
D、 16
10 、已知椭圆的标准方程是
， M1、 M2为椭圆上的点。
（ 1）点 M1（ 4， 2.4 ）与焦点的距离分别是 ________,______; （ 2）点 M2到一个焦点的距离等于 3，则它到另一焦点的距离等于
课后练习与提高
A、5
B 、5 或 8 C、 3 或 5
D 、 20
2、如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）
A 、 (0,+ ∞ )
B 、 (0,2)
C 、 (1,+ ∞ )
(0,1)
D、
A、2
B、3
C、5
D、7
A 、 2a
B 、4a
C 、 8a
D 、2a+2b
足．当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？
分析：点 P 在圆 x2 y2 4 上运动， 由点 P 移动引起点 M 的运动， 则称点 M 是点 P 的伴随点，因点 M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点 P 来表示，从而能求 点 M 的轨迹方程
例 3 如图，设 A ， B 的坐标分别为 5,0 ， 5,0 ．直线 AM ， BM 相交于点 M ，且它
2.圆的定义是： 在平面上， 到定点的距离 等于定长的点的轨迹； 那么当动点满足哪些条件时 轨迹仍然是圆？
（①平面上到两个定点 (距离为 2d)距离的平方和等于定值 a(a＞ 2d2)的点的轨迹是圆；
|PF2| 的等差中项，则椭圆的方程是（
）
7、已知椭圆
上一点 P到其一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离
为（ ）
A、2 B、3
C、5
D、7
8、如果椭圆 E： 4x2+y2=k 上两点间的距离最大是 8，则 k 值为（ ）
A 、 32
B 、 16
C、8
D、 4
9、已知 F1、F2 是椭圆
疑惑点
疑惑内容
1.思考：
课内探究学案
(1)动点是在怎样的条件下运动的？ (2)动点运动出的轨迹是什么？ 得出结论： 在平面上到两个定点 F1， F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨迹为
2．推导椭圆的标准方程．
1)建系：以 F1， F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系，并设 椭圆上任意一点的坐标为 M(x ， y)，
③坐标化；
④化简（注意根式的处理和令 a2-c2=b2）
类 似 的 ， 焦 点 在 ----- 轴 上 的 椭 圆 方 程 为 ： -------------------------- 其 中 焦 点 坐 标 为 ：
--------------------------
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
四、当堂检测
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（ -4 ， 0），（ 4， 0），椭圆 上一点 P 到两焦点距离的和等于 10；
（2）两个焦点的坐标分别是（ 0， -2 ），（ 0， 2），并且椭圆经过点 2. 平面内两个定点的距离为 8，动点 M到两个定点的距离的和为 10，求动点 M的轨迹方程。
_________.
2.1.1 椭圆及其标准方程
一、复习并引入新课
思考问题：
1.在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关 系是什么？
（如果曲线上任意一点的坐标都是方程 f(x ， y)=0 的解，同时以方程 f(x ， y)=0 的解为坐标 的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．）
设两定点坐标为：
F1(-c， 0) ，F2(c， 0)， 2)则 M 满足： |MF1|+|MF2|=2a ， 思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 ，整理得： (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ． b2=a2-c2