20.2.2 完全平方公式
计算:
(1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________;
P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________; m2-4m+4 (4) (m-2)2 = __________.
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
判断
(x+y)2=x2+y2
( a b) a +2ab +b
×
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b
2
2
2
a 2ab b
2
2
2 (a+b) =
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
完全平方公式的数学表达式：
2 2 +2ab +2ab+b (a+b)2= a2 +b
2 2 - 2ab (a-b)2= a2 +b - 2ab+b
1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
= 16m2+8mn +n2;
1 = y2-y + 4
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习一： a2+2a+1 (1) (a＋1)2＝______________
(2) (3＋x)2＝______________ 9+6x+x2
2 a
2 +2ab+b
2 2 公式特点： (a-b) = a -
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与 乘式中间的符号相同.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项 式和多项式.
首平方，末平方，首末两倍中 间放，符号与前一个样.
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ 2 =x2+2xy +y2 2 2 2 (x + y) (1)(x+y) =x +y 错 (2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
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a b c 2a 4b 6c 14 0,
2 2 2
求 : c a b的值.
1 1 2 (10)已知 a 3，求 a 2 的值. a a
通过这节课的学 习你学到了什么
乘法的完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平 方，等于它们的平方和，加上 （或减去）它们的积的2倍.
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b a a b
b
a 图 15.2-2 b a 图15.2-3
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
(3) (2a+3b)2
= ( 2a )2+2•( 2a )•( 3b )+( 3b )2
=______________ 4a2+12ab+9b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习二： m2-14m+49 (1) (m－7)2＝______________
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
2
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2
(a b) 4, (a b) 36 （8）已知： 2 2 求: a ab b 的值.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
(9)已知 :
2 2 25-20y+4y (2) (5-2y) ＝______________
16a2-24ab+9b2 (3) (4a－3b)2=______________
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
模仿练习三： m2-14m+49 (1) (m－7)2＝______________
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 例2 运用完全平方公式计算: (2) 992 . (1) 1022 ;
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2×100×2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100×1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
拓展思维
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（3）如果x2+kx+25是完全平方式， ±5 则 k=_____.
(4)如果9x2-mxy+16y2可化为一个
±24 整式的平方，则 m=_____.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
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（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 . （6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值. （7）已知 x+y=4，xy =-13， 2 2 求: x 3xy y 的值.
错
错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 例1 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y1 2 ) . 2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
2 2 25-20y+4y (2) (5-2y) ＝______________
16a2-24ab+9b2 (3) (4a－3b)2=______________
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 利用完全平方公式计算：
1 (1) ( 2 x − 2y)2 1 2 (2) (2xy+ 5 x )
(5)(2s t )
2
再试身手
(a+b)2= a2 +2ab+b2来自(6)(4a b )
2
2 2
(3)(n (4)(-x-2y)2
+1)2 −
n2
(7)(2a b )
2
2 2
(8)(2a 3b) 2a(a b)
2
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
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(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 （2）代数式2xy-x2-y2= ( D A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
规律：两数和(或差）的平方,加 问题 1：通过计算你发现了什么规律？ （或减）它们积的 2倍. 问题 3 ：你能用字母表示发现的规律吗？ 问题 2 ：具有怎样特点的整式乘法，用你发现
的规律去计算可以简化？
2 (a+b) =
2 2 a +2ab+b
(a-b)2 = a2-2ab+b2
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.