第三章 连续型随机变量及分布习题3.3（p.122）1、⑴设ξ的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0,00,e x x x f x λλ求3ξη=的密度函数。

解：3x y =，31y x =，032>='x y ，y 严格单调。

由0>x ，则0>y 。

当0>y 时，()()()()3231e3--⋅='=y y h y h f y f yλξηλ ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴--0,00,e 3332y y y y f y ληλ⑵若ξ的密度函数为()x f ，求3ξη=的密度函数。

解：解法同上，()()32331-⋅=y y fy f η2、设随机变量ξ在[]1,0上服从均匀分布 ⑴求ξη21=的密度函数； 解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ， x y 2=，严格单调，由10≤≤x ，得20≤≤y 。

当20≤≤y 时，()()()()212111=⋅='=y h y h f y f ξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,02,0,211y y f η⑵求ξηe 2=的密度函数； 解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ，x y e =，y x ln =严格单调，由10≤≤x ，得e 1≤≤y 。

当e 1≤≤y 时，()()()()()()yy y y f y h y h f y f 111ln ln 2=⋅='='=ξξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,0e ,1,12y yy f η⑶求ξηln 23-=的密度函数。

解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ， x y ln 2-=，2eyx -=严格单调，由10≤≤x ，得0>y 。

当0>y 时，()()()()2222e 21e 211e e 3y y y y f y h y h f y f ----=⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=ξξη()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e 2123y y f yη3、设()1,0~N ξ，求下列各随机变量函数的密度函数。

⑴ξηe 1=； 解：()+∞<<-∞=-x x f x ,eπ2122ξx y e =，y x ln =严格单调，由R x ∈得0>y 。

当0>y 时，()()()()()()2ln 21eπ21ln ln y yy y f y h y h f y f -='='=ξξη()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e π212ln 21y y f yη⑵1222+=ξη； 解：()+∞<<-∞=-x x f x ,eπ2122ξ122+=x y ，21-±=y x 分段单调，由R x ∈得1>y 。

当1>y 时，()()41e 1π21212121212--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y y-y y f y y f y f ξξη ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=∴--其它,01,e 1π21412y y y f y η⑶求ξη=3。

解：()+∞<<-∞=-x x f x ,eπ2122ξx y =，y x ±=分段单调，由R x ∈得0>y 。

当0>y 时，()()()()()223e π2y y y f y y f y f -='+'--=ξξη ()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e π2223y y f yη4、设ξ的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=其它,021,192x x x f求2ξη=的密度函数。

解：当11≤≤-x 时，2x y =，10≤<y 分段单调，y x ±=()()()()()y y y f yy f y f 92='+'--=ξξη当21≤<x 时，2x y =，41≤<y 严格单调，y x =()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+='=y y y f y f 1191ξη ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤<=∴其它，，，0411*******y y y y y f η5、设ξ的密度函数为⑴()⎩⎨⎧<<=其它,0π0,π3221x x x f⑵()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,02π2π,π12x x f分别求出ξηcos =的密度函数。

解：⑴ 在()π,0内，x y cos =严格单调，y x arccos =，11<<-y 。

当11<<-y 时，()()()()2321πarccos 3arccos arccos yy y y f y f -='=ξη()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=∴其它,011,1πarccos 3232y y y y f η⑵ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π,2π内，x y cos =分段单调，πarccos arccos -=y y x 或，10<<y 。

当10<<y 时，()()()()()21π2πarccos πarccos arccos arccos y y y f y y f y f -='--+'=ξξη ()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=∴其它,010,1π22y y y f η6、设电流I 是一个随机变量，它在11~9安培内均匀分布，若电流通过2欧姆的电阻，求 功率R I W 2=的密度函数。

解：()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,011,9,21i i f I ，022>=i w 严格单调，242162<<w ，2wi =当242162<<w 时，()w w w f w f I W 24122='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=∴其它0242162,241w w w f W7、设ξ的密度函数 ()212eπ21x xx f -=求ξη1=的密度函数。

解：(){}{}{}y P y P y P y F 11>=≤=≤=ξξηη {}⎰∞---=≤-=y x x xy P 1212d eπ211112ξ令t x 1=，t t x d 1d 2-=，y t yx →→∞--01：，： ()⎰⎰----+=⎪⎭⎫⎝⎛--=y t yt t t t t y F 020222d e π211d 1eπ2122η2y -8、设ηξ、独立同分布，服从指数分布，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0,00,e x x x f x λλ求⑴ηξζ+=1；⑵ξζ22=的密度函数。

解：⑴z x <<0，当0≤z ，()01=z f ζ当0>z ，()()()()z zx z x z x x x z f x f z f λλληξζλλλ----+∞∞-⎰⎰=⋅=-=e d e e d 021()⎩⎨⎧≤>=∴-0,00,e 21z z z z f z λζλ⑵()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0,00,e 22222z z z z f z f z λξζλ 9、设ηξ、独立，ξ在[]2,0上服从均匀分布，η服从参数为1的指数分布，求ηξζ+=的 密度函数。

解：()()()()⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=x x z f x f x x z x f z f d d ,ηξζ独立性()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,21x x f ξ，()()()⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≤->-=-----z x z x x z x z x z f x z x z ,0,e 0,00,e η 当0≤z ，()0=z f ζ；当20<<z ，()()()-z zx z -x z f e 121d e 210-==⎰-ζ 当2≥z ，()()()-z x z -x z f e 1e 21d e21220-==⎰-ζ ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-=∴--其它，，，02e 1e 2120e 1212z z z f zzζ10、设ηξ、相互独立，()23,1~N ξ，()22,2~N η，令⑴521+=ξζ；⑵ηξζ+=2；⑶5323+-=ηξζ，求各i ζ的密度函数。

解：⑴()216,7~52N +=ξζ()--y 72⑵()13,3~2N ηξζ+=()--y 32⑶()72,1~5323N +-=ηξζ()--y 1211、设某种商品每周的需要量是一个随机变量，其密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0,00,e t t t t f t并设各周的需要量是相互独立的，试求 ⑴ 两周需要量的密度函数；⑵ 三周需要量的密度函数。

解：⑴ ηξζ+=，ξ与η独立同分布 0≤z ，()0=z f ζ；当0>z 时， ()()()⎰-=zx x z f x f z f 0d ηξζ()()()zz zzx z x z x x xz x x z x -----=-=-⋅=⎰⎰e 6d ed ee302()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴-0,00,e !33z z z z f z ζ⑵ ξζω+=，ζ与ξ相互独立 0≤z ，()0=z f ζ；当0>z 时， ()()()⎰-=zx x z f x f z f 0d ξζω()()()zz z zx z x z x x z x x x z x -----=-=-⋅=⎰⎰e 120d 6e d e e 650433()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴-0,00,e !55z z z z f z ω12、设()ηξ,的密度函数为 ()2222eπ21,σσy x y x f +-=⑴求221ηξζ+=的密度函数。

解：0≤z ，()01=z F ζ；当0>z 时，(){}()⎰⎰⎰⎰+++==≤+=22222221d d e 2π1d d ,2222y x y x -y x y x y x y x f z P z F σζσηξ222222202022π20e1ed e π21d σσσσθz zr zr r r ----=-==⎰⎰极坐标()⎪⎩⎪⎨⎧>-=-其它,00,e 12212z z F z σζ，()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e z 22122z z f z σζσ 13、在长为a 的线段上随机地任取两点，求这两点间距离的密度函数。

解：()a U ,0~ξ，()a U ,0~η，ηξζ-=()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<--=<-=其它其它,00,2,00,22222a z a z az a z a z a a z P z F ηξζ ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=∴其它,00,22az a z a z F z f ζζ14、假设一电路装有三个同种元件，其工作状态相互独立，且无故障时间服从参数为λ的指数分布。