例1、在ABC中，已知A 32.0，B 81.8， a 42.9cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2
a sin B 42.9 sin 81.8 根据正弦定理，b 80.1(cm ) sin A sin 32.0
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c. c 作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO 并延长交圆于B’，设BB’=2R. A 则根据直径所对的圆周角是直角 以及同弧所对圆周角相等可以得到: sin C sin B' BAB' 90, C B '， c a b 2 R， 同 理 可 得 2 R, sin C sin A sin B a b c 等式 2 R成立. sin A sin B sin C
C
a b
c
A
1 1 1 S ac sin B ab sin C bc sin A 2 2 2
③可以证明
a b c 2 R. sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
二、基础知识讲解 正弦定理 a b c 形式1： 2 R. sin A sin B sin C b c a b a c , 形式2： , . sin C sin A sin A sin B sin B sin C 形式3：a 2 R sin A, b 2 R sin B , c 2 R sin C
一、复习引入 三角形中的边角关系 1、三个角的关系： A B C 任意两边和( 差)大于(小于)第三边 2、三条边的关系： 大边对大角，小边对小角 3、边与角的关系： C
A
B
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
c b a ，是否成立? sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?
当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗? 过点C作CD⊥AB, A Dc 则CD b sin A a sin B b a b E a C sin A sin B 过点A作AE⊥BC,
B
则AE c sin B b sin( C ) b sin C b c sin B sin C a b c 在钝角三 B sin C
这两个角是否都符合要求呢?
四、课时小结
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c . sin A sin B sin C
C a B c b A
作业：课本P10 A组
1(1)、2(2)
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b c 即 2 R( R为ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
二、基础知识讲解 正弦定理 a b c 形式1： 2 R. sin A sin B sin C b c a b a c , 形式2： , . sin C sin A sin A sin B sin B sin C 形式3：a 2 R sin A, b 2 R sin B , c 2 R sin C
这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.
二、基础知识讲解 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c . sin A sin B sin C
①正弦定理的叙述适合于任何三角形 ②也可以利用三角形的面积证明。 B
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 , a sin C 20 sin 76 c 30(cm ). sin A sin 40 (2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 , a sin C 20 sin 24 c 13(cm ). 练习: P5 2(1) sin A sin 40
初中学过锐角三角函数定义: a b sinA= sinB= c c
a b c sin A sin B
∠C= 90°, sin C 1
A c B a b C
a b c sin A sin B sin C
那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？
a b c 思考：在任意三角形中， 是否成立？ sin A sin B sin C
问题：由形式2可以得到，正弦定理可以解什么类型的 三角形问题?
每个等式可视为一个方程：知三求一 类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
类型2:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
三、正弦定理的应用举例 类型1: 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
先确定第三个角，再用正弦定理确定剩下的两边
a sin C 42.9 sin 66.2 根据正弦定理， c 74.1(cm) sin A sin 32.0 练习：P5 1(1)
类型2:已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角
可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角
例2、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40， 解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。 解 ： A 40 90且a b， A B b sin A 28 sin 40 根据正弦定理， sin B 0.8999. a 20 因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
当△ABC是锐角三角形时,
C
设边AB上的高是CD,
a
b
根据三角函数的定义, A B c D CD a sin B， CD b sin A a b b c 得到 同理,在△ABC中, sin A sin B sin B sin C
a b c 在锐角三角形中，等式 成立. sin A sin B sin C