利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回顾向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos ||||（2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a >=
<
二、知识讲解与典例分析
知识点1：两直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线
的角θ与 和
的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m =
><=θ
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,,0(),0,2
1
,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -
=，)2,2
1
,23(1a a a CB = 即21323,cos 22
111111==>=
<a
a
CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为3π
总结: （1）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
a
b
α
θ
O
x
x
y
知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为，则><BA n ,与θ的关系？
据图分析可得：结论：
例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴ 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||,cos |sin 2
211=-=
=
><=∴a
a AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中
α⊂⊥CD AB l AB ,,
A
B
θ
αO
结论：
或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图，ABCD 是一直角梯形，
︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1
=
AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A - 易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==AD n ， )1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2
z y x n =，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=-02
02z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,2
1
,1(2=∴n
3
6|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n 即所求二面角的余弦值为
3
6. 练习1：如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．求二面角11C B A A --的余弦值；
解：取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系．设
平面B AA 1
的法向量为()x y z =，，n ．)3,0,1(-=AB ，
1(020)AA =，，．1,AA ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨
⎧=-=•==•∴0
30
211z x y AA 令1z =，得平面1A AD 的一个法向量)1,0,3(=
设平面11BC A 的法向量为),,(c b a v =．)3,2,1
(1-=BA ，)0,2,2(1-=BC ． 1
1,BC ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•=++-=•∴0
220
3211b a BC n c b a BA
令1-=a ，得平面11BC A 的一个法向量)3,1,1(-=v
5
155232,cos =
⨯=>=<v n , 所求的二面角1
1C B A A --的余弦值为515-。
练习2:
如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =
2
1
，A B=BC=1，A D=
2
1。
求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值。
解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系，则S （0，0，2
1
）， A
（0，0，0），B （0，1，0），C （1，1，0），D （2
1
，0，0），
∴)2
1,1,0(),2
1,0,0(-=-= )2
1
,1,1(),
2
1,0,21(-=-=，
显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)，
设平面SCD 的一个法向量为2=(x ，y ，z )，则2⊥平面SCD ∴ )212(,202200
222,,n z z y x z x n SD n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅则取
则3
2
3121|
|||,cos 212121=⨯⨯=
>=
<n n n n ， 所以面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值为
3
2。
三、小结： 1．异面直线所成的角： |
||||,cos |cos n m =
><=θ
2
3．二面角：
或 图2。