cos

cos n1, n2
cos
总 结
两平面的法向量方向一进一出时，二面角的平面角与 法向量的夹角相等；如图（1） 两平面的法向量方向同进同出时，二面角的平面角与 法向量的夹角互补；如图（2）
数学运用
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的余弦 值。
建构数学 面面角：二面角的范围: 0，
n1 , n2
n2
n1 , n2

n1

l

cos

cos n1, n2
建构数学 面面角：二面角的范围: 0，
n1 , n2
n1


n2
- n1 , n2

| cos n, AB |

A

n
B

O
n
基础训练
1三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成
0
6 角的余弦值为_________ . 6
2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,
BAC 90 AB=AC=1, 则AC1与截面
复习回顾
π 1.异面直线所成角： 范围：(0， 2]
cos


m
| cos a, b |
a
m
a

o

m •
n n
b

a´
o

m
•
a´
b´
n
b

b´
n
cos cos m, n
cos cos m, n
复习回顾
π [0， ] 范围： 2.直线与平面所成角： 2
sin
D1
B1C1 (0,1,0), AB 1,0,1), AC (1,1,0) 1 (
设平面AB1C的法向量为n=(x ,y ,z ),
1 1 1
B1
C1
A
B
D y C
则n AB1 0, n AC 0
所以
X1+z1=0 X1+y1=0
x 取x =1,得y =z =-1
1 1 1
2
设平面AEF的法向量为m=(x ,y ,z ),
D E C
y
则m AF 0, m AE 0
所以
1 y2 z 2 0 2 1 x2 y 2 0 2
取y =1,得x =z =-2
2 2
故m=(-2, 1,-2) 观察图形知，二面角 F-AE-D为锐角，所以 所求二面角F-AE-D的 2 余弦值为



l
n2
n1

n1

l

cos
cos

cos n1, n2
cos n1, n2
故n=(1,-1,-1)
3 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
0 1 0 cos n, B1C1 3 3 1 3 n B1C1
n B1C1
1 1 AF (0,1, ), AE ( ,1,0) 2 2
2 2 2
解 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的 z 余弦值。 D1 A1 (2)由题意知 F(0,1, 1 ), E ( 1 ,1,0) 2 2 B1 C1 F A B x
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
cos m, AA1
m AA1 m AA1

2 2 3 1 3
3
课堂小结

B A D
二面角：

n2
C
l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
A1F AB
巩固练习
1、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; (2)求二面角F-AE-D的余弦值。 A1 B1 A D B C E C1 D1 F
解（1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; 解： (1)以点A为坐标原点建立空间 z 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) A1
0
3 10 BB1CC1所成角的余弦值为_________ 10
.
提出问题 如何用向量的方法求二面角的大小？ 两个平面所成的二面角大小是用二 面角的平面角的大小来度量的，它 的范围是[0，π]
建构数学 面面角：二面角的范围: 0，

B A D
二面角：

C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
z
D1 A1 D
E
C
1
B1 C
y
A
x
B
所以二面角的余弦值为1/3
z
D
1
C
1
A
1
D
E
B
1

Cy
A
x
B
所以二面角的余弦值为1/3
所以 cos n1 , n2
1 3 n1 n2
n1 n2
点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤
建系 求两平面的法向量 求两法向量的夹角的余弦值
得二面角的余弦值

l
cos
cos n1, n2
建构数学 面面角：二面角的范围:
n1 , n2
0，
n1 , n2

n2
n1 , n2
- n1 , n2
n2
n1
n1

l


l

cos n1, n2
数学运用
例2:已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CD的 中点，求： (1)A1D与EF所成角的大小； (2)A1F与平面B1EB所成的角的正弦值；
(3)求二面角C-D1B1-B的余弦值。
D1 A1 F B E
z
C1 B1
D A
x
C
y
1 cos A1F , AB A1F AB 3