a1b1 a2b2 a3b3 夹角公式： a b a b cos
| a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义. （回到图形）
D
C
y
x
B
题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2

A
n
O
α
A
B
n θ
思考：

结论：
B

n, BA 与的关系？
sin
|
cos n, AB
|
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB
S
B
C
x
A
D
y
例三
如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值.
z
y x 2 任取n2 (1, 2,1) z y 2 n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3
y x 2 0 yz0 2
S
练ห้องสมุดไป่ตู้2:
如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
练习2: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析: 若用几何法本题不太好处 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理,从而把问 x 题转化为向量运算问题.
.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, z
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), x
y
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), (0, 1,1) , CP m AP 0 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 m AB 0 ( x , y , z ) (0, 0,1) 0 y 2x ∴ ∴ ,令 x=1,则 m =(1, 2,0) ,
AA1 4, M 为BC1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1D AN . (1)求证：A1D AM . A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角.
z
N
C1
D1
AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8, 0),
A1D AN . (1)求证：A1D AM .
A1 （2）求AD与平面ANM 所成的角. B1 M A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8, 0), M (5, 2, 4) A
z
N
C1
D1
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), AM A1D＝0 A1D AM .
利用向量解决
空间角问题
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
1.若a (a1 , a2 , a3 )， (b1 , b2 , b3 ), 则： b 数量积： a b | a | | b | cos a , b
n



B
n2

3.二面角：
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
n1

刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难 进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
C1 A1 B1
2 2
C
D A
B
练习3: 解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设 底面三角形的边长为a，侧棱长为b 则 C(0,0,0), A( 3 a , 1 a , 0), B(0, a , 0), C1 (0,0, b), 故 AB1 (
a , a , b), BC1 (0, a, b), 2 2 1 2 2 由于AB1 BC1 ,所以AB1 BC1 a b 0
n CB 0 设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) , 则 n CP 0 x 0
( x , y , z ) ( 2,1, 0) 0 z0
3 mn 3 ∴cos m, n ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 3 | m || n | 3
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
F1
z C1
C
C xyz
B1
A1
D1
1 1 AF1 BD1 cos AF1 , BD1 4 30 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2

n2

[0, ]
n1

cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
cos cos n1, n2
题型三：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 2 所成二面角的余弦值. z
解:建立坐标系如图,
z
y
设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) ,
cos

| cos CD, AB |
利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平 移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线 的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 思考： C D

结论：
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
2 2 B1 (0, a, b), D( 3 a , 1 a , 0) 4 3 1 4
z
C1
A1
B1
2 a ∴ b 2 C ∵ CC1 B 在坐标平面yoz中 D x ∴ 可取 n ＝（1，0，0）为面 CC1 B 的法向量 设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)
( x , y , z ) ( 2,0,0) 0 ∴ 令 y 1, n (0, 1, 1) ( x, y, z) (0, 1,1) 0 y z
练习3: 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点, 当 AB1 BC1时，求二面角 D BC1 C 的余弦值.
B1 M A
D
C
y
2 5 cos AD, A1D 5
x
B
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
2 5 5
题型二：线面角
练习1：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1 B1 C1 D1
A B
C
D
题型三：二面角
二面角的范围：
立体几何中的向量方法(二)
立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 上一节,我们认识了直线的方向向量及平面 的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 行、垂直、夹角等问题.
平面ABC的法向量平移到A1 B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
取 BC CA CC1， A1B1、AC1的中点D1、F1， 1
B1
D1
A1
C
A
B
题型一：线线 角 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 CC1 1 则：
A(1, 0, 0), B (0,1, 0),