(3.13a) (3.13b) (3.13c)
3.2 一阶有源滤波器 利用一个电容作为运算放大器的外部元件之一就可从 基本运算放大器组成得到最简单的有源滤波器。 微分器 在图3.5（a）的反相结构中有VO=(-R/Zc)Vi=-RCSVi 。 根据拉普拉斯变换性质，在频域乘以S等效于在时域微分。 这就确认了这个电路的微分器名称。对比值VO/Vi求解给出 H(s)=- RCs 它在原点有一个零点。 (3.16)
这就是在电路分析里面学的的正弦稳态分析的理论基础
简单回顾信号与系统的知识
系统的响应
全响应=零输入响应 零状态响应 全响应 零输入响应+零状态响应 零输入响应 =自然响应 + 受迫响应 自然响应 =暂态响应 + 稳态响应 暂态响应 暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。 暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。 稳态响应： 稳态响应：随时间增长仍继续存在并趋于 稳定的部分。 稳定的部分。
|H １ΧH ２| dB＝| H １|dB +| H ２| dB | H １/H ２| dB＝| H １|dB -| H ２| dB |1/H 1| dB＝-| H １|dB dB值快速计算方法 +3db = *2 +6db = *4 (2*2) +7db = *5 (+10db-3db = 10/2) +4db = *2.5 (+10db-6db = 10/4) +1db = *1.25 (+4db-3db
伯德图 一个滤波器的幅值和频率范围可能是很宽的。例如，在 音频滤波器中典型的频率范围是从20Hz~20kHz,这代表着 1000：1的范围。为了用同一清晰度观察小的以及大的细节， | H |和≮H分别在对数和半对数标尺上画出。这就是说，频 率间隔用每10倍频程 倍频程（…,0.01,0.1,1,10,100,…）,或者每倍 倍频程 每倍 频程（…,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,…）表示，而| H |以分贝（dB） 频程 表示为 | H | dB＝20log10| H | (3.12) 伯德图就是分贝和度对10倍频（或倍频程）的图。这类图 的另一个优点就是下面这些有用的性质成立：
作为一个例子，图3.2说明了在利用如下输入电压下：
υ I (t ) = 0.8sin ωot + 0.5sin 4ωot + 0.2sin16ωot
前四种理想滤波器的滤波效果。在左图示出的是由频谱分析 仪所观察到的信号频谱,右图则是用示波器所看到的时域波形。
图3.2 在频域（左图）和在时域（右图）的滤波效果
积分器 图3.6（a）的电路给出Vo=(-Zc/R)Vi=-(1/RCs)Vi ，由于电 容器是在反馈路径中，所以也称米勒积分器。由于在频域 米勒积分器。 米勒积分器 被s除对应于在时域的积分，这就确认了积分器的名称。 它的传递函数是 H(s)=-1/ RCs (3.19) 该积分器的幅度图如 图3.6（b）所示 。
图3.11 宽带带通滤波器 它的传递函数为
H (s) = − R2 R1C1s 1 R1 R1C1s + 1 R2C2 s + 1
（3.28）
ห้องสมุดไป่ตู้
尽管这是一个二阶滤波器，但在这里选它是为了用以说明用低 阶基本构造单元综合出高阶滤波器的例子。 令s→jω得出
式中H0称为中频增益 中频增益。这种滤波器用在 ωL<<ωH的情况，这时ωL和ωH 称为低（下） 中频增益 和高（上）-3 dB频率。这个电路特别用在音频应用场合，在那里希望将音频范围内 的信号获得放大，而阻止亚音频分量，如直流以及音频范围以上的噪声。
标准二阶响应
二阶波波器重要性不仅在于它们本身，还在于它们是构造高阶滤波器的重要 组成部分，因此在学习实际电路以前，需要详细研究它们的响应。 所有的二阶函数都可以表示成如下的标准形式。
H (s) = N (s) ( s / ω0 ) 2 + 2ξ ( s / ω0 ) + 1
(3.40)
式中N(s)是一个阶次m≤2的s多项式；ω0称作无阻尼自然频率，单位是rad/s;而 无阻尼自然频率， 无阻尼自然频率 是一个无量纲的参数，称为阻尼系数 阻尼系数。 阻尼系数 令s→jω可以得到频率响应，通过用另一个无量纲参数Q可将频率响应表示为：
图3.6 积分器及其幅值伯德图
带增益的低通滤波器 将一只电阻与反馈电容器并联如图3.9（a）所示，就把 这个积分器变成一个带有增益的低通滤波器。令1/Z2＝ 1/R2+１/（1/sC）=(R2Cs+1)/R2，给出H(s)=- Z2 /R1,或者
H ( s )＝ − R2 1 R1 R 2 Cs + 1
图3.1 理想滤波器 （a）低通；（b）高通；（c）带通；（d）带阻；（e）,(f)全通
低通响应用一个称之为截止频率ωc的频率来表征，而有 |H|＝1，ω<ωc和|H|＝0，ω>ωc,这表明低于ωc的输入信号通 过滤波器后幅度没有变化,而ω>ωc的信号则全部被衰减掉。低 通滤波器通常用于消除一个信号中的高频噪声。 高通响应与低通响应正好相反，高于截止频率ωc的信号 不被衰减，而ω<ωc的信号完全被隔离。 带通响应用一个称为通带 频率带宽 L<ω<ωH表征，而 通带的频率带宽 通带 频率带宽ω 位于这个频带内的输入信号不受衰减，而在ω<ωL或ω>ωH的 信号则被截止住。一种熟知的带通滤波器就是收音机中的调 谐电路，它让用户可以选定某一特定的电台而阻断其他的电 台。
图3.9 带增益的低通滤波器
带增益的高通滤波器 按图3.10（a）将一电容与输入电阻串联就将微分器转变 为一个带增益的高通滤波器。 它的传递函数为
H ( s) = − R2 R1Cs R1 R1Cs + 1
（3.26）
它在原点有一个零点而在S=-1/R1C有一个极点．令s→jω，能将 H(s)表示成归一化形式为
H(s)和稳定性 和稳定性 H(s)和频率响应 和频率响应
这部分同学们自己看。
在滤波器的研究中，关心的是对如下交流输入 xi(t)=Ximcos(ωt+θi) 的响应，这是Xim是振幅，ω是角频率，而θi是相角。一般来 说，（3.2）式的完全响应xo(t)由两个分量组成,即一个在函数 形式上类似于自然响应的暂态 暂态分量，而另一个是与输入有同一 暂态 频率但有不同振幅和相角的稳态 稳态分量。如果全部极点都位于 稳态 如果全部极点都位于 LHP，那么暂态分量将最终消逝，而仅有稳态分量 ，那么暂态分量将最终消逝，
有源滤波器(I 第三章 有源滤波器 ) 设计不同频段的滤波器所采用的元器件和材料是不同的，设 计辅助软件一般也是不同。滤波器设计理论方面的书很多，很 多可以直接从网上下载。我们从实际应用出发，先介绍有关滤 波器的基础知识，然后介绍一些常用滤波器设计软件和它的应 用。
滤波器是在依赖于频率基础之上处理信号的一种电路。 随频率变化的这种特性称为频率响应 频率响应，并以传递函数 H(jω) 频率响应 传递函数 ω 表示，这里 = 2π f 是角频率以弧度/秒（rad/s）计，而j是虚数 虚数 单位(j 单位 2=-1)。这个响应进一步具体分为幅度响应|H(jω)|和相 位响应 H ( jω );它们分别给出了当信号通过该滤波器后所经受 的增益 相移 增益和相移 增益 相移。 频率响应概述 根据幅度响应，滤波器可分为低通 高通、带通 低通、高通 低通 高通、带通、和带 带 隔阻）滤波器。第5类滤波器是称为全通滤波器 全通滤波器，它只 阻（或隔阻 隔阻 全通滤波器 处理相位而保持幅度为常数。参照图3.1，将这些理想响应地 定义如下。
带阻响应与带通响应相反，因为它阻断的频率分量位 于阻带ωL<ω<ωH 之内，而通过其余全部分量。当这个阻带 是足够窄的话，这种响应称为陷波响应 陷波响应。陷波滤波器的一种 陷波响应 应用就是在医学仪器中消除拾取到的不需要的60HZ频率分 量干扰（在中国为50HZ——译者注）。 全通响应由|H|＝1（与频率无关）和 H = −t0ω 表征，这 里t0为一合适的比例常数以秒计。这类滤波器在通过某个交 变信号时幅度不受影响，但相移与频率ω成正比。虽然，全 通滤波器也称为延时滤波器 延时滤波器。延时均衡器和宽带90O相移网 延时滤波器 络都是全滤波器的例子。
在频谱仪上显示的频谱图形
有源滤波器 有源滤波器-----吸收进放大器的滤波器称为有源滤波器。 有源滤波器 一个有源滤波器只能在运算放大器正常工作的范围内起 作用。随频率而滚降的开环增益限制运算放大器的工作 范围。这个限制一般就将有源滤波器应用局限到兆赫 兆赫以 兆赫 下的范围。这包括了音频和仪器仪表的应用范围，在那 里运算放大器滤波器获得了最为广泛的应用，而电感由 于太笨重而无法与可利用的IC(指运算放大器芯片）小 型化相匹敌。超出运算放大器能达到的频率之上，电感 还是占优势，所以高频滤波器仍然还是用无源 高频滤波器仍然还是用无源RLC元件 高频滤波器仍然还是用无源 元件 实现的。在这些滤波器中，由于电感和电容值随工作频 实现的 率范围上升而下降，所以电感的尺寸和重量更便于处置。
H ( jω ) = N ( jω ) 1 − (ω / ω0 ) 2 + ( jω / ω0 ) / Q
Q= 1 2ξ
ξ
(3.42) (3.43)
随着我们研究的深入，Q的含义将会越来越清晰。
低通响应HLP
所有的二阶低通函数都可以表示成 H ( jω ) = H 0 LP H LP ( jω ) 的标准形式， 式中H0LP是某个合适的常数，称为直流增益，而 直流增益， 直流增益
完全响应
齐次解+特解或输入信号与 系统冲激响应h(t)的卷积
零输入响应
零状态响应
自然响应 暂态响应
受迫响应 稳态响应
对一个滤波器的电路图而言，可以用解析方法求得H(s)， H ( jω ) 然后对ω（或f）画出| H(jω) |和 ，为频率响应给出一 种可视化的展示。这些图称为伯德图，能用手画出来，或经 伯德图， 伯德图 由PSpice产生。 相反，已知| H(jω) |，可令jω→s得到H(s)，求得它的根 并构成零极点图。