25.3 用频率估计概率
一、教学目标
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.
2.在具体情境中了解概率的意义.
3.让学生经历“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，丰富对随机事件现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型，初步理解频率与概率的关系.
二、教学重难点
重点：利用频率估计概率，理解在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m n
会稳定在某个常数P 附近，那么事件A 发生的概率P （A ）＝P.
难点：用概率来解决实际问题，设计试验来估计概率，并进一步求概率.
教学过程（教学案）
一、情境引入
前面，我们已经学过用列举法求出一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率.
【情境】 抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5.这是否意味着抛掷一枚硬币100次，就会有“50次正面向上”和“50次反面向上”呢？
学生交流讨论.
二、互动新授
1.探究P142“试验”
（1）问题引导：根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
（2）学生自主探究，小组交流.
（3）教师总结：历史上，有些人曾做过成千上万次抛硬币的试验，其中一些试验结果见表25－4（见教材P143）.
2.探究P143“思考”
（1）学生讨论交流，代表汇报.
（2）教师总结：可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动.一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小.这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5，它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一数值.
在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”就是“反面向上”.因此，从上面的试验中也能得到相应的“反面向上”的频率.当“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于0.5，它与前面用列举法得出的“反面向上”的概率是同一个数值.
3.归纳总结：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
4.巩固新知
（1）探究P144“问题1”
①学生交流讨论后，师生共同探究：
幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计.
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率.随着移植数n 越来越大，频率m n
就会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值.
②学生补全教材表25－5中空缺.
③观察上表，比较发现.
④师生共同探究：从教材表25－5，可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活
的概率为 0.9 Ｗ.
（2）探究P145“问题1”
①学生独自完成教材表25－6
②提出问题：
Ⅰ.观察上表，你能得到什么结论？
Ⅱ.到达目的地后完好柑橘还有多少？
Ⅲ.把损坏柑橘算在内，柑橘成本每千克约为多少元？
Ⅳ.每千克大约定价为多少元可获利润5000元？
③学生交流讨论后，师生共同分析：
填完表后，从教材表25－6可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg 时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1（结果保留小数点后一位）.由此可知，柑橘完好的概率为0.9.
根据估计的概率可以知道，在10000kg 的柑橘中完好柑橘的质量为
10000×0.9＝9000（kg ）.
完好柑橘的实际成本为2×100009000＝20.9
≈2.22（元/kg ）. 设每千克柑橘售价为x 元，则（x －2.22）×9000＝5000.
解得x ≈2.8（元）.
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元.
三、课堂小结
五、教学反思
本节课的重点是用频率来估计事件发生的概率，具有较强的现实生活意义，是统计概率学在实际生活中的具体运用.通过具体问题，可以激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性.在讲解例题时，注意给学生充分自主思考的时间和空间，通过学生独立思考和合作探究，提高分析问题、解决问题的能力，体会概率在问题决策中的重要作用，培养学生的随机思想和概率思维，调动学生学习统计概率知识的积极性.
导学案
一、学法点津
学生由概率的定义可知，在相同的条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率，理解统计推断的合理性，通过对实际问题的分析，深刻体会用试验步骤来估算概率的方法，进一步体会概率与统计之间的联系及概率的广泛应用.
二、学点归纳总结
1.知识要点总结
对一般随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，可以用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
2.规律方法总结
在遇到任何计算概率的问题时，如果能够用理论计算，首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值，如随机事件发生的可能结果不是有限，或者不是等可能的，一般可以用概率试验的方法，随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率，用频率估计出来的概率有时是不准确的，会有误差.
课时作业设计
一、选择题
1.某种彩票的中奖概率是1%，则下列说法正确的是（ ）.
A.买一张这种彩票一定不会中奖
B.买10000张这种彩票一定会中奖
C.买1000张这种彩票一定有10张中奖
D.买1张这种彩票有可能中奖
2.将一矿泉水瓶盖的一定高度抛掷，落地后盖面朝下的概率是（ ）.
A.12
B.13
C.14
D.需根据试验频率进行估算 3.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混合，接着抓出100粒黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来约有（ ）.
A.10粒
B.160粒
C.450粒
D.500粒
二、填空题
4.当试验的结果不是有限个，或各种可能的结果发生的可能性不相同时，我们要通过统计 来估计概率.
5.王某和李华做同时抛两枚普通硬币的试验，她们记录了抛掷的次数和出现两个反面的次数，整理数据时发现，随着抛掷次数的增加，出现两个反面的频率非常接近0.25，由此可知抛掷两枚普通硬币，出现两个反面的概率为 Ｗ.
6.从一副没有大小王的扑克牌中抽取一张，随着试验次数的逐渐增多，发现抽得梅花的频率逐渐稳定在 左右.
三、解答题
7.王强与李刚两位同学在学习“概率”后，做抛骰子（均匀正方体形状）试验，他们共抛了54次，试验记录如下表：
（1）请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
（2）王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请问王强和李刚说法正确吗？
（3）如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
【参考答案】 1.D 2.D 3.C
4.频率
5.0.25
6.0.25
7.解：（1）6＋9＋5＋8＋16＋10＝54，出现向上点数为3的频率为554
，出现向上点数为5的频率为1654＝827
. （2）王强和李刚的说法均错误，理由如下：试验次数不同，得出频率也不同，只有当试验次数很大时，频率会逐步趋于稳定，这时频率才可能作为概率的估计值.而本题中试验次数为54，所以不能用其估计概率，因此两种说法均错误.
（3）先列表，由表可知可能出现的结果共有36种，出现向上点数之和为3的倍数的结
果有12种，所以其概率为1236＝13
.。