23
n n 1 2 n 2
而
lim
n
sn
lim( 1 1 ) 1 n 2 n 2 2
此级数收敛，和为 1 . 2
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例2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
(其中a 0, q为等比级数的公比)
解:(1)若 q 1 ,则部分和
lim
n
Sn不存在.
故原级数发散.
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2.数项级数基本性质
性质1:(收敛的必要条件) 如果级数
un u1 u2 un
n 1
u 收敛，则它的一般项 n 趋于零，即
lim
n
un
0
证明： un sn sn1
lim
n
un
nlim(sn
sn 1 )
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(2) 当 q 1时,
当 q 1时， sn na 级数发散,
当q 1时，级数成为a a a a 当n为奇数或偶数时， sn为a或0， 则 sn的极限不存在，级数发散. 小结: 等比级数的公比 | q | 1 ，级数收敛,
| q | 1 ，级数发散.
rn s sn un1 un2 ,
称为级数的余项，
rn 为 sn 代替s所产生的误差 .
.
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注意2:
到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别
了解了级数 un 的收敛与发散性(敛散性)是由其 n 1
部分和数列 sn 的敛散性所决定的。
确切地说，两者敛散性是相同的
s1 u1, s2 u1 u2,, sn u1 u2 un. (2)
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例如 级数 1 1 1 的 23 34 45
一般项
它的前n项和
un
(n
1 1)(n
2)
111
1
sn 2 3 3 4 4 5
(n 1)(n 2)
1
lim
n
sn
lim
n
sn 1
s
s
0
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注1: 若反之，则不一定成立。
即
lim
n
un
0，原级数
un不一定收敛。
如级数调和 级1 数,有nl1i1nm发1散，0,但但n1事lnim实1n上 0
1 1
(n 1)(n 2) n 1 n 2
sn
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 4
1) 5
1 1 2 n2
( 1 1 ) n1 n 2
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问题
由上我们便得到一个数列 s1, s2 ,L , sn ,从形式上
不难知道 un = n 1
lim
n
sn
，以前我们学过数列的收敛
与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。
换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是
否仍为一个数呢？
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定义1 若级数 ui的部分和数列sn收敛，设其极
i=1
限值为 s
lim
n
sn
lim
n
ui s
i=1
则称无穷级数 un 收敛.s称为此级数的和.且有
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§1 数项级数的概念与性质
1.数项级数的基本概念 2.数项级数的性质 3.柯西(cauchy)收敛准则
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1.无穷级数的概念
若有一个无穷数列
u1，u2，u3， ，un， 此无穷数列构成下列表达式
u1 + u2 + u3 + + un +
sn a aq aqn1 a(1 qn ) a aqn 1q 1q 1q
敛散性.
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当 q 1时,
lim qn 0,
aqn lim 0
n
lim
n
sn
n
a
1
q ，
1 q
则级数收敛；
当 q 1时, lim qn ,
n
lim
n
sn
则级数发散。
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第十三章 无 穷 级 数
无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数 表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求 解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对 数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷 级数都是一个有效的工具。
本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三 部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本 性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开 为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用。
对上式两端在区间[k，k+1]上取定积分
1 k1 1
k 1 1
k k
kdx k
dx x
11
12
31
n1 1
sn 1 2 3 L
n
dx
1
dxdx 1x
3 1dx L 2x
n1 1dx nx
n1 1 dx
1x
ln
x
n1 n
ln(n
1)
当n
时,
sn
.显然
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例 1 判定级数
1
1
1
的收敛性.
n1 (n 1)(n 2) 2 3
(n 1)(n 2)
解：un
(n
1 1)(n
2)
1 n 1
n
1
2
sn
1 23
1
1
n (n 1) (n 1) (n 2)
(1 1) (1 1 ) 1 1
(1)
称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)
级数，记为
un u1 u2 u3 un
sn
n1
其中第n项un叫作级数的一般项或通项
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显然，对于给定的级数（1），其任意前n项和sn都是已知的. 于是级数(1)对应着一个部分和数列{sn},即
s u u u , n1 12
无穷多项求和问题转 化成n数列{sn}的极限
若 {sn} 无极限，则称无穷级数问题un 发散.
n 1
lim
n
sn
s 称 un收敛于和s
n 1
lim
n
sn不存在
称
n 1
u
发散
n
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注意1:
如果级数(1)收敛,其和为s,则称
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例3 证明调和级数1 1 1 1 发散.
23
n
证: 为估计调和级数的部分和sn，我们在区间
[1,+∞]上引入函数 f (x) 1
x
对于任一x属于[1,+∞]，存在自然数k，使得
k x k 1 ，于是 1 1 (k 1, 2,L )
kx