从上面可以看出x1和x3线性相关严重.
多重共线性的检验和补救


(2)回归结果: Parameter Estimates
Variance Variable DF Inflation Intercept 1 0 x1 1 185.99747 x2 1 1.01891 x3 1 186.11002 Parameter Estimate -10.12799 -0.05140 0.58695 0.28685 Standard Error 1.21216 0.07028 0.09462 0.10221 t Value -8.36 -0.73 6.20 2.81 Pr > |t| <.0001 0.4883 0.0004 0.0263
多重共线性检验方法 （3）样本相关系数检验法
两个变量xi 和x j 之间的相关系数 rij , 如果rij较大，则认为存在多重 共线性； 进一步，rij R 2 , 共线性严重。 H 0 : det (R ) 1; H a det (R ) 1; 1 检验统计量：FG (T 1 ( 2 p 5) log(det (R )); 6 FG 2 (0.5 p ( p 1)); 如果拒绝H 0，则认为有多重共线性 ； 否则不存在；

发现x1的系数为负,和现实经济意义不符,出现原因就是x1 和x3之 间的线性相关.
补救措施


增加样本;岭回归或主分量回归; 至少去掉一个具有多重共线性的变量;对具有多重共线 性的变量进行变换. 对所有变量做滞后差分变换(一般是一阶差分),问题是 损失观测值,可能有自相关. 采用人均形式的变量（例如在生产函数估计中） 在缺乏有效信息时,对系数关系进行限制,变为有约束回 归(Klein,Goldberger,1955),可以降低样本方差和估计 系数的标准差,但不一定是无偏的(除非这种限制是正确 的). 对具有多重共线性的变量,设法找出其因果关系,并建立 模型和原方程构成联立方程组.
rank( X X ) k
多重共线性的后果



1.存在完全多重共线性时,参数的估计值 无法确定,而且估计值的方差变为无穷大. 2.存在不完全多重共线性时,可以估计参 数值,但是数值不稳定,而且方差很大. 3.多重共线性会降低预测的精度,甚至失 效,增大零假设接受的可能性(t值变小).
多重共线性的检测方法 (1)样本可决系数法


如果样本的可决系数R-square 比较大，且回归 系数几乎没有统计上的显著性，则可认为存在 多重共线性。 Theil 提出了一个指标：多重共线性效应系数
Theil 指标 R 2 (R 2 R 2 j );
j 1 p
R2 数; j 去掉x j 后的回归方程的可决系 若该系数接近于 0，则认为不存在多重共 线性； 接近于1，存在多重共线性。
FG test results

fg=20.488013401 p=0.0001344625； 拒绝零假设，认为存在多重共线性。 具体那些变量之间存在多重共线性，除了 上面提到的辅助回归的方法外，还有以下 提到的条件数检验和方差膨胀因子法。
多重共线性检验方法： （4）特征值分析法所用的检验统计指标


R 为第k各自变量和其 余自变量回归的可决系数. VIF>10,有多 重共线性;TOL=1/VIF; 条件指数: C i i
VIFk (1 R )
2 1 k
;
2 k
min

条件数:
C
max min
;C>20,共线性严重.
多重共线性的检验和补救




2 i
辅助回归检验结果

Sas 结果：
F1 739.99( prob 0.01); R12 0.9946 ; F2 0.0186( prob 0.9278); R12 0.0186 ; F3 740.44( prob 0.01); R32 0.9946 ;


Klein经验法则：若存在一个i,使得 R(i)-square>R-square,则认为多重共线 性严重；本例中x1,x3有多重共线性。
经济计量学的几种检验
多重共线性



.Multicollinearity arises because we have put in too many variables that measure the same thing. As the degree of multicollinearity increases, the regression model estimates of the coefficients become unstable and the standard errors for the coefficients can get wildly inflated. Measure :vif, tol=1/vif,condition index;etc.
例一:进口总额和三个自变量之间回归; Sas 结果如下:Pearson Correlation Coefficients, N = 11 Prob > |r| under H0: Rho=0 x1 x2 x3 x1 1.00000 0.02585 0.99726 GDP 0.9399 <.0001 x2 0.02585 1.00000 0.03567 存蓄量 0.9399 0.9171 x3 0.99726 0.03567 1.00000 总消费 <.0001 0.9171
Theil test results

Sas 结果：
R 0.9919 ; R 0.9913 ;
2 2 1
R 0.9473 ; R 0.9828
2 2 2 3
theil effectscoefficien t 0.9376 1

结果表明有多重共线性。
多重共线性检测方法 （2）辅助回归检验法

若存在多重共线性，则至少有一个解释变量可精确或 近似地表示为其余皆是变量的线性组合。 相应的检验统计量为：
2 i
R /( p 1) Fi F ( p 1, T p) 2 (1 Ri ) /(T p) R 为第i个自变量对其余解释变 量的回归 的可决系数; 若显著则存在多重共线 性； 则可认为xi 是造成多重共线性的原 因；