第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
1 1 1 1 (arcsin x )' 2 2 (sin y )' cos y 1 sin y 1 x
有
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导.
16
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.且
dy dy du . dx du dx
sin x x 1 cos x
15
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
二.复合函数的导数
定理2. 2. 3 设函数 y = f (u) 与u = (x)可以复合 成函数y=f [(x)] ，如果u = (x)在x0可导，而 y = f (u) 在对应的u0= (x0)可导，则函数y=f [(x)]在 可导，且
( C ) 0
1 ( x ) x
( sin x ) cos x
(cos x ) sin x
( arcsin x )
( a x ) a x ln a
( arccos x )
( e ) e
x
x
( arctan x ) ( arc cot x )
9
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
类似地可得
(arccos x )
1 1 x2
1 (arctan x ) ; 2 1 x 1 (arccot x ) . 2 1 x
10
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例6 求y=logax (a>0,a 1)的导数．
14
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例11 设 解：
x sin x f ( x) 1 cos x
，求 f (x) ．
x sin x 1 cos x x sin x 1 cos x f ( x ) 2 1 cos x sin x x cos x 1 cos x x sin x sin x 2 1 cos x
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x 3 y 3 z 3 3 xy 0 .
(cot x) = - csc2x , (csc x) = - cscxcotx .
6
例3 解：
(1) y tan x
(2) y sec x
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
x 1 例4 求 y 2 的导数． x 1
解：
y
x 1 ( x 2 1)( x 1) ( x 2 1)( x 1) 2 x 1 ( x 2 1)2
若u(x)在x可导， c是常数，则 cu(x)在 x
[cu( x )] cu( x )
乘积求导公式可以推广到有限个可导函
若u,v,w 都是区间I内的可导函数
(uvw) uvw uvw uvw
4
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例1 求f (x)=x3-2x2+sinx在x=0处的导数． 解：
（二）反函数的导数
定理2.2.2 设y=f (x)为x= (y)的反函数．如果
x= (y)在某区间Iy内严格单调，可导且 (y) 0则它的 反函数y=f (x)也在对应的区间Ix内可导，且有
1 dy 1 f ( x ) 或 . ( y ) d x dx dy
8
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 导数的计算 第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
第二节
导数的计算
本节主要内容: 一.导数公式及四则运算法则 二.复合函数的导数
三.隐函数与参数式函数的导数
四.高阶导数
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复 合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
dy dy du dv dx du dv dx
17
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例12 设 y=sin3x，求y ．
y cos 3 x 3 x 3cos 3 x 解：
一.导数公式及四则运算法则
（一） 导数的四则运算
设u(x)，v(x) 在x可导，则u(x)v(x) , u(x)v(x) , u( x ) ( v ( x ) 0 ) 也在x可导，且有 v( x ) (1) u( x ) ( x ) u( x ) v ( x ); 定理2.2.1
5
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
sin x cos x cos x sin x( sin x ) (1) (tan x ) ( ) 2 cos x cos x 1 2 sec x 2 cos x 1 (cos x ) (2) (sec x ) ( ) 2 cos x cos x sin x sec x tan x 2 cos x 类似可得
1 (log a x ) x ln a 1 (ln x ) x
12
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例7 设 y
解： y

x cos x x cos x 4 ln x

π x cos x 4 ln x tan ，求 y ． 7
4 x sin x x 2 x
24
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例20 求y =2xsecx+(arctan x3) 2 的导数．
解：
y 2cos x sec 3 x 2cos x sec 3 x
2cos x ln 2 cos x sec 3 x 2cos x sec 3 x tan 3 x 3 x
1 2 1 2
，求 f (x) ．
解： f ( x ) x 2 x x
1 3 3 1 1 f ( x ) x 2 x 2 x 2 2 2
例10
设y arcsin x 2 x x
，求 y ．
3 1 1 3 4 4 x 解： y arcsin x 2 x 2 2 1 x
பைடு நூலகம்
sec x
csc x ln csc x cot x 验证： .
22
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例18 求y arctan x 1 的导数．
3
解：
1 y 1 x 3 1

x 1
3


1 1 3 x 1 3 3 2 x 2 x 1
例13 设 y=(x3+3x+1)2，求y ．
3 3 解： y 2 x 3 x 1 x 3 x 1 2 x 3 x 1 3 x 3
3 2
18
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例14 设 y e
tan
2 x
，求y ．
ex 例8 设 y 4 log 2 x ，求 y ． x x x x 4 xe e e 解： y 4log 2 x 2 x ln 2 x x
13
cos x
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例9 设 f ( x )
3 2
x2 2 x 1 x
解： y = ln(-x)可由y = lnu , u=-x复合而成，则有
dy du 1 1 y ( 1) du dx u x
即
1 (ln | x |) x
20
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例16 求y = ln|f(x)|的导数(f(x)0且f(x)可导)．
解： y = ln|f(x)|可由y = ln|u| , u=f(x)复合而成，则 有
解：
由于y=logax，x(0,+) 为x=a y， y (- ,+ )
的反函数，因此
1 1 1 (log a x ) y y (a ) a ln a x ln a
特别地，自然对数的导数为
1 (ln x ) x
11
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
（三）导数基本公式
2cos x ln2 sin x sec3 x 3 2cos x sec3 x tan3 x
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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例21 设函数f(x)在[0,1]上可导，且 y=f(sinx)+2f(x3) 求y ．
解： y [ f (sin x )] [2 f ( x 3 )]
解： y e
tan
2 x
2 tan x 2 2 sec 2 x x
e
tan
2 x
e
tan