max M y
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My Mz
max M y
x
z
max M z
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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对于圆截面，因为过形心的任 意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用有两个弯矩时，可 以将弯矩用矢量表示，然后求二者 的矢量和，这一合矢量仍然沿着横 截面的对称轴方向，合弯矩的作用 面仍然与对称面一致，所以平面弯 曲的公式依然适用。

max＝
My Wy
＋
Mz Wz
max
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
最大正应力叠加公式应用限制

max
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＝
My Wy
＋
Mz Wz

max＝
My Wy
＋
Mz Wz
本章将介绍杆件在斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲组 合、弯曲与扭转组合以及薄壁容器承受内压时的强度问题。
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合 弯曲与扭转组合 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算 结论与讨论
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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以矩形截面为例，当梁的横截面上同时作用两个弯矩My 和 Mz(二者分别都作用在梁的两个对称面内)时，两个弯矩在同一 点引起的正应力叠加后，得到总的应力分布图。
Mz
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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斜弯曲时横截面上的最大正应力
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
最大正应力
由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应 力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩 正应力必然发生在矩形截面的角点处。
max
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Mz
max
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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由于两个弯矩引起的最大拉应力发生在同一点，最大压应 力也发生在同一点，因此，叠加后，横截面上的最大拉伸和压缩 正应力必然发生在矩形截面的角点处。
max
max＝
My Wy
＋
Mz Wz
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
产生斜弯曲的加载条件
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还有一种情形也会产生斜弯曲，这就是所有外力都 作用在对称面(或主轴平面)内，但不是同一对称面(梁的 截面具有两个或两个以上对称轴) 或主轴平面内。
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
斜弯曲
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解：2. 求两个平面弯曲情形下 的最大弯矩 根据前几节的例题所得到的 结果，简支梁在中点受力的情形 下，最大弯矩Mmax=FPl / 4。将其 中的FP分别替换为FPz和FPy ，便 得到两个平面弯曲情形下的最大 弯矩：
M max FPz
M max ( FPy )
斜弯曲
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产生斜弯曲的加载条件
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
产生斜弯曲的加载条件
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当外力施加在梁的对称面(或主轴平面)内时，梁将产生 平面弯曲。所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是 对称面(或主轴平面)，梁也将会产生弯曲，但不是平面弯曲， 这种弯曲称为斜弯曲(skew bending)。
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
拉伸（压缩）与弯曲的组合
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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对组合受力与变形的杆件进行强度计算，首先需要综 合考虑各种内力分量的内力图，确定可能的危险截面；进 而根据各个内力分量在横截面上所产生的应力分布确定可 能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度 理论进行强度计算。
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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斜弯曲
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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产生斜弯曲的加载条件 叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 斜弯曲时横截面上的最大正应力 斜弯曲时强度条件
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
上式不仅对于矩形截面，而且对于槽形截面或工字形截 面也是适用的。因为这些截面上由两个主轴平面内的弯矩引 起的最大拉应力和最大压应力都发生在同一点。
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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xmax

M ymax Wy

M zmax Wz

xmax
d c
FPx l FP sin l 4 4
FPy l 4 FP cos l 4
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
－ +
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应力。
max M
max＝－
M ＝－ W
W
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
斜弯曲情形下横截面上的中性轴
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还可以证明，在斜弯曲情形下，横截面依然存在 中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂 直于加载方向，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之 一。
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
b max M
max M
c
两个平面弯曲叠加的结果是：角点c承受最大拉应力； 角点b承受最大压应力。因此b、c两点都是危险点。这两点 的最大正应力数值相等，即
max b , c ＝
M max FPz M max FPy FP sin l FP cos l 4W y 4Wz Wy Wz
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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解：4. 讨论
如果令上述计算中的 ＝0，也就是载荷FP沿着y轴方向， 这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项变为0。于是梁内的 最大正应力为
这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可见，载荷偏 离对称轴(y)一很小的角度，最大正应力就会有很大的增加(本 例题中增加了88.4％)，这对于梁的强度是一种很大的威胁，实 际工程中应当尽量避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起 吊重物时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁的侧 面斜方向起吊的原因。
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(10)
2013年9月1日
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工程力学（静力学与材料力学）
第二篇 材料力学
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
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斜弯曲时强度条件
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
斜弯曲时强度条件
在最大正应力作用点只有正应力作用，因此，斜 弯曲时的强度条件与平面弯曲时完全相同，即下式依 然适用：
max
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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拉伸（压缩）与弯曲的组合
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
拉伸（压缩）与弯曲的组合
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
拉伸（压缩）与弯曲的组合
斜塔将会怎样倒塌？破坏将从哪里开始？
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
前面几章中，分别讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时 杆件的强度问题。 工程上还有一些构件在复杂载荷作用下，其横截面上 将同时产生两个或两个以上内力分量的组合作用，例如两 个不同平面内的平面弯曲组合、轴向拉伸（或压缩）与平 面弯曲的组合、平面弯曲与扭转的组合。这些情形统称为 组合受力与变形。 组合受力与变形时，杆件的危险截面和危险点的位置 以及危险点的应力状态都与基本受力与变形时有所差别。
M ymax M zmax Wy Wz

对于圆截面，上述公式是否正确
？
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
对于圆截面，上述计算公式是不适用的。这是因为，两 个对称面内的弯矩所引起的最大拉应力不发生在同一点，最 大压应力也不发生在同一点。
y
max M z
第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
斜弯曲
例题1
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