10.1排列与组合10.1.1学习目标掌握排列、组合问题的解题策略10.1.2重点（1），特殊元素优先安排的策略：（2），合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4 ）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6 ）不相邻问题插空处理的策略。

10.1.3难点综合运用解题策略解决问题。

10.1.4学习过程：（1）知识梳理1 •分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N = mn • m2• m n种不同的方法。

2•分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有m n种不同的方法；那么完成这件事共有N = mb m2；—心m n种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3.排列：从n个不同的元素中任取m（m窃）个元素，按照.一定.顺序.排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4 .排列数：从n个不同元素中取出m（m<n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 A；表示.5.排列数公式：A m = n（n「1）（n「m 1）n!（m 乞n,n,m N）（n _m）!特别提醒： (1 )规定 0! = 1(2) 含有可重元素 的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a i , a 2, --；..a n 其中限重复m n _m m J m mC n=C n ；② C n C n=C n1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是’排成一排”，后者是 并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系(2)典型例题 考点一：排列问题 例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法?(1) 甲不站两端； (2) 甲、乙必须相邻； (3) 甲、乙不相邻； (4) 甲、乙之间间隔两人； (5) 甲、乙站在两端；(6) 甲不站左端，乙不站右端 . 考点二 : 组合问题例 2, 男运动员 6 名，女运动员 4名，其中男女队长各 1人.选派 5人外出比赛 . 在下列情形 中各有多少种选派方法？（ 1）男运动员 3 名，女运动员 2 名； （ 2）至少有 1 名女运动员； （ 3）队长中至少有 1 人参加； （ 4）既要有队长，又要有女运动员 .数为n i 、n …k ,且n = n i +n 2+•…n ・k ,则S 的排列个数等于n!n =n 1!例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n =^=3又例如:1!2!数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数n =3! =1.36•组合：从n 个不同的元素中任取 m(m <n 个元素并成一组, 个元素的一个组合.叫做从n 个不同元素中取出 m7 •组合数公式:A mm nn 二C m A ；n(n -1)^ (n -m • 1) C m n! n nA mm!m!(n -m! &两个公式：①考点三: 综合问题例3, 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1 个盒内有2 个球，共有几种放法？（3）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？2，2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A, 48 种 B ，12 种 C ，18 种 D36 种3，从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位 数的个数为 （ ）A,48 B, 12 C ，180 D ，1624，甲组有 5 名男同学， 3名女同学；乙组有 6 名男同学， 2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A ， 150 种B ，180 种C ，300 种D ，345 种共有6，用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324B ， 328C ，360D ，648的不同选法的总数为 （ ）8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）A ，18B ，24C ，30D ， 30女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） 10.1.5 当堂测试1，从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A ，70 种B ， 80 种)C ，100 种D ， 140 种5，甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法（）A ， 6 B，12 C 30 D367，从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选， 而丙 没有入选A ，85B ， 56 C，49 D ，289，3 位男生和 3位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位A ， 360B ， 288 C， 216D ， 9610.1.6 参考答案例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端， 可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 4 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有 A 5种站法，根据分步乘法计数原理， 共有站法：A ； •A5 =480 （种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5个人中选5个人站，有A 5种站法， 然后中间4人有A 4种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 5 • A 4 =480 （种）.方法三 若对甲没有限制条件共有 A 6种站法，甲在两端共有 5A 5种站法，从总数中减去 这两种情况的排列数，即共有站 法: A 6-5A 5 =480 （种）.（5）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有 A 5种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有 （种）站法 .方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有 A 4种站法，再在5个空档中选出一个供（种） .（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法” ，第一步先让甲、乙以外的 4个人 站队，有A ；种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有 A 5种站法，故共有站法为 A 4 • A 5 =480 （种）.也可用“间接法” ， 6 个人全排列有 A 66种站法，由（ 2）知甲、乙相邻有（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有 A 4种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A 5种，故共有A 4 •（3A 5）=144 （种）站法.方法二 先从甲、乙以外的 4个人中任选5人排在甲、乙之间的两个位置上，有 A 5种,然后把甲、乙及中间 5人看作一个“大”元素与余下 5人作全排列有 A 3种方法，最后对甲、乙放入，有 A 5种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有 A 4 • A 5 • A 2=240=540 种站法，所以不相邻的站法有5A -A 55 =750-540=480 （种）甲、乙进行排列，有 A 种方法，故共有 A 2 • A • A 2=144 (种)站法5) 方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有作全排列，有 A 44种，根据分步乘法计数原理，共有 方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A 2种站法，然后考虑中间 4个位置,由剩下的4人去站，有A ；种站法，由分步乘法计数原理共有 A 2• A ； =48 (种)站法.(6) 方法一一甲在左端的站法有 A ；种，乙在右端的站法有 A ；种，且甲在左端而乙在右端种，共有 A 66 -2A 55+A 44=504（种）站法方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有 A 5种站法，②甲在中间4个位置之而乙不在右端有 A ； • A 4• A4种，故共有A 5+A 4• A 4•A4=504 (种)站法.例 2, 解 ( 1 )第一步：选 3 名男运动员，有 C 36 种选法 . 第二步：选 2 名女运动员，有 C 24 种选法 . 共有C 6 • C 4=120种选法.3 分( 2) 方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女3 男， 3 女 2 男，4 女 1 男 .由分类加法计数原理可得总选法数为C4 C 4 +C 2 C 6+C 3 C 2 +C 4 C 6 =246 种.6 分方法二 “至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解 . 从10人中任选5人有C5O 种选法，其中全是男运动员的选法有C6种•别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A, 48 种 B , 12 种 C , 18 种 D36 种解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选 1人，然后 把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有C ； C ； A 种选法。

（2）种，再让其他 4 人在中间位置A 44=48(种)站法的站法有所以“至少有1 名女运动员”的选法为( 3) 方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48 ；“只有女队长”的选法为C48 ；“男、女队长都入选”的选法为C38 ；所以共有2C4 +C3=196种选法.方法二间接法：c-5 =246 种.9分6分从10人中任选5人有C50种选法•其中不选队长的方法有C8种•所以“至少1名队长”的选法为C?0-C 5=196种• 9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法•不选女队长时，必选男队长，共有C4 5 * 6种选法.其中不含女运动员的选法有C J种，所以不选女队长时的选法共有C8 -C4种选法•所以既有队长又有女运动员的选法共有C4+C4-C4=I9I种.例3,解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“ 4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1, 1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有c4 c4 c；x A2=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法•（3）确定2个空盒有C4种方法•4个球放进2个盒子可分成（3, 1）、（2, 2）两类，第一类有序不均匀分组有C4 C1A2种2 2方法；第二类有序均匀分组有字• A种方法•A；共有24+12=36种选法。