2020年中考数学压轴题每日一练（4.15）
一、选择题
1．如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段EF B．线段BE C．线段DE D．线段CE
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）
A．3B．2C．D．2
二、填空题
3．如图，线段AB为⊙O的一条弦，以AB为直角边作等腰直角△ABC，直线AC恰好是⊙O 的切线，点D为⊙O上的一点，连接DA，DB，DC，若DA＝3，DB＝4，则DC的长为．
第3题第4题
4．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点，连接PC，过点P作PE ⊥PC交AB于E，以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应的点O也随之运动，则点O的运动路径长为．
三、解答题
AB=，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕5．如图，16
点O逆时针旋转270︒后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧»CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
=；
（1）求证：AP BQ
BQ=时，求»QD的长（结果保留π）；
（2）当43
∆的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
（3）若APO
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）三点，直线y＝kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y 轴的平行线，与直线BC相交于点E．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；
（3）点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标．
【答案与解析】
一、选择题
1．【分析】作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．
【解答】解：如图，作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜AC时，FE有最小值，与函数图
象不符，故A错误；
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜AC时，BE有最小值，与函数图象不符，故B错误；
由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AE＞AC时，DE有最小值，故C正确；
∵CE＝AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故D错误；
故选：C．
2．【分析】先取EF得中点O，连接DE、DE、DC，所以OC＝EF，由AF＝DF，BE＝DE，得到∠A＝∠ADF，∠B＝∠BDE，从而∠ADF+∠BDE＝∠A+∠B＝90°，所以∠EDF＝90°，因此OD＝EF，得到EF＝OC+OD，因此当C、O、D三点在同一直线上，且CD
⊥AB时，OC+OD最短，由OE＝OF，OC＝OD，∠C＝90°得到四边形CEDF为矩形，于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF＝OC+OD＝CD＝CH最短，由∠AFD
＝∠BED＝90°，可知∠A＝∠B＝45°，从而CH为AB＝，故EF的
最小值为．
【解答】解：取EF得中点O，连接DE、DE、DC，
∵∠C＝90°，
∴OC＝EF，∠A+∠B＝90°，
∵AF＝DF，BE＝DE，
∴∠A＝∠ADF，∠B＝∠BDE，
∴∠ADF+∠BDE＝∠A+∠B＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴OD＝EF，
∴EF＝OC+OD，
当C、O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，
∵OE＝OF，OC＝OD，
∴四边形CEDF为平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF为矩形，
于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF＝OC+OD＝CD＝CH最短，
∴∠AFD＝∠BED＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
CH＝AB＝，
∴EF的最小值为．
故选：B．
二、填空题
3．【分析】延长CB交⊙O于F，连接AF，作BE⊥DB交DF的延长线于E，连接AE，如图，先利用∠ABF＝90°得到AF为⊙O的直径，再根据切线的性质得到∠F AC＝90°，则∠BAF＝∠AFB＝45°，接着判断△BDE为等腰直角三角形得到BD＝BE，DE＝BD ＝4，再证明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，然后利用勾股定理计算出AE即可CD的长．
【解答】解：延长CB交⊙O于F，连接AF，作BE⊥DB交DF的延长线于E，连接AE，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∴AF为⊙O的直径，
∵直线AC是⊙O的切线，
∴AF⊥AC，
∴∠F AC＝90°，
∴∠BAF＝∠AFB＝45°，
∴∠BDF＝∠BAF＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD＝BE，DE＝BD＝4
∵∠ABE＝∠DBE+∠ABD＝90°+∠ABD，∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝90°+∠ABD，∴∠ABE＝∠CBD，
而BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，
∵AF为直径，
∴∠ADF＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∴CD＝．
故答案为．
4．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．
【解答】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，
∵△APE∽△DCP，
∴＝，即x（3﹣x）＝2y，
∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y的最大值为，
∴AE的最大值＝，
∵AK＝KC，EO＝OC，
∴OK＝AE＝，
∴OK的最大值为，
由题意点O的运动路径的长为2OK＝，
故答案为
三、解答题
5．
6．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设点D坐标为（m，m2﹣m+2），则E点的坐标为（m，﹣m+2），由DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2可得答案；
（3）分点D在DE上方和下方两种情况，用m的代数式表示出DE的长度，依据DE＝2得出关于m的方程，解之可得．
【解答】解：（1）把点B（4，0），C（0，2）代入直线y＝kx+t，得：
，
解得，
∴y＝﹣x+2；
把点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得，
∴y＝x2﹣x+2；
（2）设点D坐标为（m，m2﹣m+2），E点的坐标为（m，﹣m+2），
∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE的长最大，为2，
当m＝2时，m2﹣m+2＝﹣1，
∴D（2，﹣1）；
（3）①当D在E下方时，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，
∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，
则﹣m2+2m＝2，
解得m＝2，
此时D（2，﹣1）；
②当D在E上方时，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，
令m2﹣2m＝2，
解得m＝2，
∴此时D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），
综上所述，点D的坐标是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形．。