比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。

2．bc ad d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a ===Λ332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ΛΛ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b=3，c=2，d=3 =4，b=6，c=5，d=10=2，b=5，c=23，d=15 =2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )∶d=c ∶b ∶b=c ∶d ∶a=b ∶c ∶c=d ∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.例9．（1）已知b a a b b a x +=+=+=222，求x 的值 （2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值 例10.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM =215-AB =215-AB ≈ 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD 的值 【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-xy y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:84．若3:2:1::=c b a ，则cb ac b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-35．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314 D 、9 6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-207．若43x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±8．已知AB=1，)15(21-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A C D BA 、215-B 、215+C 、)53(21-D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ） A 、2 B 、15+ C 、2或15+ D 、以上都不对10．已知572z y x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A 、A>B>C B 、A<B<C C 、C>A>B D 、A<C<B11．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba 14．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是16．把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c. 一、填空题：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么ba ＝ . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm.11.已知3∶x ＝8∶y ，求y x = 12. 已知b b a 23+＝27，求ba =13. 若2x ＝3y ，求y y x += 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则d b c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 19．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 20．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 21．已知a b a 3)(7=-，则=b a 22．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 三、解答题：1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知c b a +=a c b +=ba c +＝x ，求x 4、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.5、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c a ++＝fd e c ++＝3. 6、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长. （1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项．7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-5、若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝__________PB ＝ 。

4．（2010佛山）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看（精确到1cm ）2．（2011六盘水）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约，下身长约，她要穿约（ ）cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到）1．（2013莆田）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BCAB ，则称7、已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ， 求c b a 23-+的值。

8、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 9、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．10、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a ::点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．（1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）求出线段AD 的长．13．（2001南京）以长为2cm 的定线段AB 为边，作正方形ABCD ，取AB 的中点P ．在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 落在AD 上，如图所示．（1）试求AM 、DM 的长；（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗请说明理由．34．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 长为20米，主持人现站在A 处，请问主持人应走到离A 点至少多少米处才最自然得体（结果精确到米）39．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，设以AP 为边长的正方形面积为S 1，以PB 为宽和以AB 为长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小．3．（2010本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=7．（2005太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC=（ ）cm ，DC=（ ）cm ．11．（2013闸北区一模）已知点D 是线段AB 的黄金分割点，且线段AD 的长为2厘米，则最短线段BD 的长是（ ）厘米．13．（2013秀洲区二模）如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，D 为AE 的一个黄金分割点，即AD= AE ，BE 交DC 于点F ．若CF=2，则AB 的长为（ ）6 .已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555 ，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。