设K 法 条件有连等式
第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：
例 1： 自然数 A、B 满足
1 1 1 ，且 A : B 7 :13 ，求 A B A B 182
分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设 k，即能把两个未知数都用一个关于 k 的式 子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所 谓的利用设 K 法“降维” 。 解： 设 A 7k , B 13k
k k k ，同理 2007b 2 ， 2008c 2 ， a b c k k k 且 2006 3 , 2007 3 , 2008 3 a b c
则 2006a 2
于是可将条件化简为： 3
k k k 3 k 3 k 3 k 3 3 3 ，共同约去 k 并化简得到 a b c a b c
2
故 f ( x) ax bx 1 ，将解析式代入 f ( x 1) f ( x) 2x 得：
2
a( x 1)2 b( x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2 x
即： 2ax a b 2 x ，将系数对应得到
2a 2 a b 0
解得
a 1 b 1
所以有二次函数 f ( x) = x2 x 1
因此原式 4 x y 2 z 15m 14n 15
1 6 14 9 11 11
七年级： 2.2 因式分解的复杂高次形式 七年级开始最先遇到的一个难点就是因式分解的各种题型。 其中有一个万能解法， 就是 待定系数法， 它常常用于一些难以用标准方法如十字相乘法解出的、 没有特点因式分解难题。
m(2x 5 y 4z) n(7x y 3z) 15m 14n 整理得： (2m 7n) x (5m n) y (4m 3n) z 15m 14n
将系数与系数对应，即：
1 2m 7 n 4 m 11 5m n 1 解得方程组的解为： 4m 3n 2 n 6 11
1. 设 K 法
六年级： 设 K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一 个和 K 有关的式子表示出来。变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用， 以一替多。那什么时候该用设 K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去 用设 k 法的—— 条件含比例
3
1 1 1 1 1 1 a b c a b c
1 1 1 m ，则有 3 m m a b c
再令
即 m m3 （因为 abc 0 且为同号，只有 m 0 ） ∴ 即 （负根舍去） m2 1 ,m 1
1 1 1 1 a b c
此题已属于中高难度题，但核心思想依然是通过连等式进行未知数的“降维” ，有了好 的开始便是成功的一半，后续的解答也就能顺利进行了！
七年级： 例 3： 设 2006a 2007b 2008c , 且 abc 0
3 3 3
若 2006a 2007b 2008c 3 2006 3 2007 3 2008
3 2 2 2
求
1 1 1 a b c
分析： 该题乍看之下并没有什么思路， 而一旦陷入繁琐的计算， 那么心情也会跟着一同浮躁。 而若你谨记了两类典型条件，你便能发现有连等式，至少可以用设 k 法去尝试。 解：令 2006a3 2007b3 2008c3 k
（1） x : y : z 2k : 4k : 7k 即 x : y : z 2: 4: 7 （2）
x y 2k 4k 6k 2 x z 2k 7k 9k 3
（3） 2x y 3z 4k 4k 21k 29k 58 即k 2 因而 x 4, y 8, z 14 有没有发现设 k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数 板块，也会出现类似的“难题” ！
2. 方程、代数式、函数的系数确定
待定系数法其实起源于这类系数的求解上， 当你对大致的式子形式有个框架， 想得到每 一个精确系数的值，于是先假设一个参数，利用条件将参数解出即可。该类型也从六年级就 有，灵活地掌握和运用能够将复杂题型做极大的化简。 六年级： 2.1 多元方程的系数调整 例 4： 已知 2x 5 y 4z 15, 7 x y 3z 14 ，求 4x y 2z 的值。
例 5： 在整数范围内分解因式 x4 3x3 6x2 15x 5
分析：首先这是一个高次项代数式的因式分解，并且用常用的公因式、公式法或十字相乘都 不能有效解决，因而只能寻求分组分解法。而如果先对整个代数式进行分析，首先可以得到
几个特点：最高次 x 的系数为 1；常数项 5 只能拆分成 1 5 ；进一步利用余数定理分析当
2.4 函数的确定 八-九年级 例 7：已知一次函数图像经过点 (3,5), (4, 9) ，求一次函数解析式。
分析：标准的函数解析式的求解，其实就是在利用待定系数法，将系数假设为字母，通过
点的坐标将函数的字母系数求出。这也是整个初中阶段最为常见的待定系数法的运用。 解： 设一次函数的解析式为 y kx b ，因为函数图像经过点 (3,5), (4, 9) ， 代入解析式 得：
例 2： 已知
x y பைடு நூலகம் , 求： 2 4 7 （1） x : y : z x y （2）求 的值 xz
（3）若 2x y 3z 58 ，求 x, y, z 的值
分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设 k 法快速求解。
解： 令
x y z k ，则有 x 2k , y 4k , z 7k 2 4 7
2 2
将其展开得：
( x 2 ax 1)( x 2 bx 5) x 4 (a b) x3 (6 ab) x 2 (5a b) x 5
a b 3 a 3 与原代数式系数对应，有： 6 ab 6 ，解得 b 0 5a b 15
1 1 1 1 1 ，进行通分 A B 7k 13k 182 13 7 6 1 91k 91k 91k 182 求得 k 12 ，故 A B 20k 240
则有
如果说比例式用设 k 法还算比较明显的话， 那么连等式的技巧就没那么容易想到。 而越 难想到的点就越能成为杀手锏：
即说明已得到因式分解的各系数，即：
x 4 3x3 6 x 2 15x 5 ( x 2 3x 1)( x 2 5)
2.3 分式方程的分拆 例 6： 用待定系数法将
4x 6 化为分母分别为 x 与 x 2 且分子都是常数的两个分式的和。 x( x 2)
解：设
4
x 1 或 5 时都不能使代数式的值为 0，说明代数式没有一次项的因式（因式分解余数定
理详情可查看以前的总结《因式分解通关全攻略》 。根据以上分析，可以确定因式分解必定 会分解成诸如 ( x ax 1)( x bx 5) 的形式，从而利用待定系数法求解。
2 2
解：根据上述分析，不妨设原代数式可因式分解为 ( x ax 1)( x bx 5) 的形式
数学知识点总结 ——待定系数法的运用
待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法， 它的重要性不仅体现在某一类 型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏” ，让原本复杂繁琐的难题巧 妙进行巧妙地简化。理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。下面我们就一 起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
3k b 5 k 2 解得： 4 k b 9 b 1
所以该一次函数的解析式为： y 2x 1
例 8：已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) 1以及 f ( x 1) f ( x) 2x ，求 f ( x)
解：设二次函数解析式为 f ( x) ax bx c ，因为 f (0) 1，代入易得 c 1
4x 6 A B （A,B 为常数） ，再将右式通分得： x( x 2) x x 2 A B Ax 2 A Bx x x2 x( x 2)
可以得到
4x 6 ( A B) x 2 A ，将系数对应，有： x( x 2) x( x 2)
A B 4 A 3 4x 6 3 1 ，解得 ，所以 x( x 2) x x 2 2 A 6 B 1
分析：初看之下该题有些三元一次方程组的感觉。但显然两个方程无法将三个未知数解出， 而其实只要找出他们之间某一个对应关系即可。因而灵活地利用待定系数法便可绕过未知 数，直接求得题目需要的取值。
解：根据题意：
2 x 5 y 4 z 15 ① 7 x y 3z 14 ②
为了得到将 4x y 2z ，假设将①式×M，②×N 并相加，得到：