证 明 要证明tan A tan B 1
只需证 sin Asin B 1 cos AcosB
因为A, B为锐角,所以cos A 0, cos B 0
只需证cos AcosB sin Asin B 只需证cos AcosB sin Asin B 0
只需证 cos(A B) 0
因为C为锐角,所以A B C为钝角
21 5 2 21 10
10 2 21 20 ( 3 7)2 (2 5)2 3 72 5
在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于 我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
练 习 在锐角ΔABC中,求证 : tan A tan B 1
2
2
2
不等式性质以及对数的 运算性质来证明.
练习 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
证明
由A, B,C成等差数列,有2B A C
由A, B,C为ABC的内角,有A B C 由余弦定理, 有
图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确不等式 的 ,指出其中的证明方法的特点.
ab 2
ab(a 0,b 0)
证明 要证 a b ab
证明: a b ab 2
2
只需证 a b 2 ab
这种证a思明考b方:2法2 ab
只需证 a b 2 ab 0
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(一)
复习回顾
猜想是 否正确？
否定猜想? 肯定猜想?
只要前提和推理
举反例 形式都是正确的,
结论必定是正确的.
证明
直2接.2证明直中接最证基本明的与两间种证接明证方明法 2.2.1 综合法和分析法(一)
思考 :已知a,b 0,求证 : a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
2
2
lg b c lg bc 1 (lgb lg c),
2
2
lg c a lg ca 1 (lg c lg a),
2
2
总结：本题主要综合运用 已知条件,基本不等式,
以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，
所以lg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c
B
3
b2 a2 c2 2ac cosB a2 c2 ac a2 c2 ac ac
由a, b，c成等比数列，有b2=ac. (a c)2 0 a c
AC
由上可知A B C
3
所以△ABC为等边三角形．
总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3
Q结n 论Q
例 1 已知a, b, c是不全等的正数 ,
求证 : lg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c
2
2
2
证明: a, b, c 0
a b ab, b c bc, c a ca,
2
2
2
lg a b lg ab 1 (lg a lg b),
有什么特点呢?
( a b
)
2
0
2
只需证( a b)2 0
a b ab
2
因为上式显然成立,所以原不等式成立.
二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)
1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,
把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
一. 综合法 (由因导果法,顺推法)
1.定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 及运算法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出 所要证明的结论成立.
2.思维特点：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其逐步推理 ，实际是寻找 它的必要条件．
3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
2.思维特点：执果索因,从“未知”看“需知”，其逐步推理，实际上是
寻找它的充分条件.
3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,P表示充分条件)
结Q 论QP1 P1 P2 P2 P3
明显成立的条件
4.分析法的书写格式：
要证：...... 只需证：...... 只需证：...... ......显然成立 所以,结论成立
所以cos(A B) 0恒成立
所以tan A tan B 1
课时小结 本节课所学的知识结构
1.综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方法. 2.在数学解题中: (1)综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论. (2)分析法是从数学题的待证结论出发，一步一步地探索使它成立的充分条件，最后把要证
证明 :因为b2 c2 2bc, a 0
所以a(b2 c2 ) 2abc 因为c2 a2 2ac, b 0 所以b(c2 a2 ) 2abc 因此, a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
观察这种 证明方法 的特点!
发现:本题主要是从已知条件出发,利用我们所熟知的基本不等式 及不等式性质来进行证明的!
明的问题归结为一个明显成立的条件. (3)对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，分析法表现为执果索因，它们是寻求解题
思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.
作业布置
1．必做题：教材P89 练习1、2题． 2．选做题：教材习题2.2 B组2、3题．
感谢各位领导和老师的 莅临指导!!!
例 3 求证 : 3 7 2 5
证明: 因为 3 7和2 5都是正数
所以要证 3 7 2 5
只需证( 3 7 )2 (2 5)2
分 展开得10 2 21 20
析 只需证 21 5 法 只需证21 25
综 合 法
因为21 25显然成立.
所以 3 7 2 5
证明:21 25